Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости ${\displaystyle \{(x,y)\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$, обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой (метрикой Пуанкаре), которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского).

Эквивалентно, модель Пуанкаре в верхней полуплоскости иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая компонента (координата y, упомянутая выше) положительна.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости носит имя Анри Пуанкаре, но её создал Эудженио Бельтрами, который использовал её вместе с моделью Кляйна и моделью Пуанкаре́ в круге, чтобы показать, что гиперболическая геометрия настолько же непротиворечива^[англ.], насколько непротиворечива евклидова геометрия.

Эта модель конформна, что означает, что углы, измеренные в точке модели, равны углам на гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли даёт изометрию между моделью в полуплоскости и моделью Пуанкаре́ в круге.

Эту модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного гиперболического пространства путём замены вещественного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве.

Метрика модели в полуплоскости ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle |y>0\}}$ имеет вид

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}\,}$,

где s измеряет длину вдоль (возможно кривой) линии. Прямые на гиперболической плоскости (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние), представляются на этой модели дугами окружностей, перпендикулярными оси x (полуокружности с центром на оси x) и вертикальными лучами, перпендикулярными оси x.

В общем случае расстояние между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезических и равно:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{2}}})\\&=2\operatorname {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2}}}}\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2}}}}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}}$$

где arch и arsh — это обратные гиперболические функции

${\displaystyle \operatorname {arsh} {x}=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ ,\ \operatorname {arch} {x}=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\,.}$

Некоторые специальные случаи могут быть упрощены:

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|}$^[1].

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle )=\operatorname {arch} (1+{\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{2y^{2}}})=2\operatorname {arsh} ({\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}})}$

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operatorname {arsh} (\tan \phi )=\operatorname {arch} ({\frac {1}{\cos \phi }})=\ln({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi }})}$

Другим способом вычисления расстояния между двумя точками является длина дуги вдоль (евклидовой) полуокружности:

${\displaystyle \operatorname {dist} (AB)=\left|\ln \left({\frac {|BA_{\infty }|\ |AB_{\infty }|}{|AA_{\infty }|\ |BB_{\infty }|}}\right)\right|.}$

где ${\displaystyle A_{\infty },B_{\infty }}$ — точки полуокружности (концы), лежащие на граничной прямой, а ${\displaystyle |PQ|}$ — это евклидова длина сегмента окружности, соединяющей точки P и Q в этой модели.

• Бесконечно удалённые точки в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости бывают двух типов:
  • точки на оси x
  • одна воображаемая точка на ${\displaystyle y=\infty }$, которая является бесконечно удалённой точкой, через которую проходят все ортогональные оси x прямые.
• Прямые, геодезические (кратчайшие пути между точками, находящимися на ней) моделируются
  • полуокружностями, концы которых находятся на оси x
  • Вертикальными лучами, ортогональными оси x
• Окружности (кривые, равноудалённые от центральной точки) с центром в точке ${\displaystyle (x,y)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ моделируются:

окружностями с центром ${\displaystyle (x,y\cosh(r))}$ и радиусом ${\displaystyle y\sinh(r)}$

• Гиперцикл (или эквидистанта, кривая, удалённая от гиперболической прямой, её оси или базы) моделируется
  • либо дугой окружности, которая пересекает ось x в тех же двух бесконечно удалённых точках, что и полуокружность, которая является базой, но имеет с осью x острый или тупой (не прямой) угол.
  • либо прямой, которая пересекает ось x в той же точке, что и вертикальный луч, который моделирует базу, но не перпендикулярной оси x.
• Орицикл (предел семейства окружностей с общей касательной, проходящих через фиксированную точку и лежащих по одну сторону от этой касательной, образующийся при стремлении радиуса этих окружностей к бесконечности) моделируется
  • либо окружностью, касательной оси x (без бесконечно удалённой точки пересечения, которая является центром)
  • либо окружностью, параллельной x, в случае, если центром является бесконечно удалённой точкой с ${\displaystyle y=\infty }$.

Пусть дана евклидова окружность с центром ${\displaystyle (x_{e},y_{e})}$ и радиусом ${\displaystyle r_{e}}$.

• Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости, она представляет гиперболическую окружность с центром ${\displaystyle (x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}})}$ и радиусом ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right)}$.
• Если евклидова окружность полностью находится в верхней полуплоскости и касается границы, она представляет орицикл с центром в бесконечно удалённой точке c ${\displaystyle (x_{e},0)}$.
• Если окружность пересекает границу ортогонально (${\displaystyle y_{e}=0}$), она представляет гиперболическую прямую.
• Если окружность пересекает границу не ортогонально, она представляет гиперцикл.

Здесь показывается, как производить построения с помощью циркуля и линейки в модели Пуанкаре^[2]. Например, как построить полуокружность в евклидовой полуплоскости, которая моделирует гиперболическую прямую, проходящую через две точки.

Строим отрезок, соединяющий две точки. Строим перпендикуляр, проходящий через середину отрезка. Находим пересечение этого перпендикуляра с осью x. Строим окружность с центром в точке пересечения, проходящую через данные точки (только верхнюю часть выше x).

Если эти две точки лежат на вертикальном луче, строим его (от оси x) , этот луч и будет искомой прямой.

Будем строить гиперболическую окружность с центром A, проходящую через точку B.

• Если точки A и B не лежат на вертикальной прямой:

Строим гиперболическую прямую (полуокружность), проходящую через две заданные точки, как в предыдущем случае. Строим касательную к этой полуокружности в точке B. Проводим перпендикуляр к оси x через точку A. Находим пересечение этих двух прямых, чтобы получить центр D моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность с центром в D, проходящую через заданную точку B.

• Если точки A и B лежат на вертикальной прямой, и точка A лежит выше точки B:

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и оси x, которая проходит через точку A. Строим горизонтальную прямую через точку B. Строим касательную к окружности в точке пересечения с этой горизонтальной прямой.

Середина отрезка между пересечением касательной с вертикальной прямой и B является центром моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность вокруг центра, проходящую через точку B.

• Если точки A и B лежат на вертикальной оси, и центр A лежит ниже точки B:

Строим окружность вокруг пересечения вертикальной прямой и осью x, которая проходит через заданный центр A. Строим касательную к окружности, проходящую через точку B. Строим горизонтальную прямую, проходящую через точку касания, и находим её пересечение с вертикальной прямой.

Средняя точка между полученной точкой пересечения и точкой является центром моделирующей окружности. Строим моделирующую окружность с новым центром и проходящую через точку B.

Опускаем перпендикуляр p из евклидова центра окружности на ось x.

Пусть точка q является основанием этого перпендикуляра на ось x.

Строим прямую, касательную к окружности, проходящую через точку q.

Строим полуокружность h с центром в точке q, проходящую через точку касания.

Гиперболическим центром служит точка, в которой h и p пересекаются^[3].

Проективная линейная группа PGL(2,C) действует на римановой сфере преобразованиями Мёбиуса. Подгруппа, которая отображает верхнюю половину плоскости H в себя — это PSL(2,R), состоящая из преобразований с вещественными коэффициентами, которая действует транзитивно и изометрично на верхней половине плоскости, что делает её однородным пространством.

Есть четыре тесно связанные группы Ли, которые действуют на верхнюю половину плоскости дробно-линейными преобразованиями, сохраняющими гиперболическое расстояние.

• Специальная линейная группа SL(2,R), которая состоит из 2×2 матриц с вещественными элементами и определителем +1. Заметьте, что многие тексты (включая Википедию) часто упоминают SL(2,R), подразумевая под этим PSL(2,R).
• Группа S*L(2,R), состоящая из 2×2 матриц с вещественными элементами с определителем +1 или −1. Заметим, что SL(2,R) является подгруппой этой группы.
• Проективная специальная линейная группа PSL(2,R)^[англ.] = SL(2,R)/{±E}, состоящая из матриц из SL(2,R) по модулю ± единичной матрицы (то есть это факторгруппа по группе, состоящей из +E и -E).
• Группа PS^*L(2,R) = S^*L(2,R)/{±E}=PGL(2,R) является снова проективной группой и, снова, по модулю ±E. PSL(2,R) содержится в ней в качестве нормальной подгруппы с индексом два; другой класс смежности состоит из матриц 2×2 с вещественными элементами и определителем −1, опять же по модулю ±E.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

• Группа всех движений H, иногда обозначаемая как Isom(H), изоморфна PS^*L(2,R). Она включает как сохраняющие ориентацию движения, так и меняющие ориентацию. Меняющее ориентацию отображение (зеркальное отражение) — это ${\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}$.
• Группа сохраняющих ориентацию движений H, иногда обозначаемая как Isom⁺(H), изоморфна PSL(2,R).

Важными подгруппами группы изометрии являются фуксовы группы.

Часто рассматривается модулярная группа SL(2,Z), которая важна в двух аспектах. Во-первых, это группа линейных преобразований плоскости, сохраняющих решётку точек. Таким образом, функции, периодичные на квадратной решётке, такие как модулярные формы и эллиптические функции, наследуют симметрию решётки SL(2,Z). Во-вторых, SL(2,Z) является, конечно, подгруппой SL(2,R), а следовательно, имеет гиперболическое поведение, заложенное в ней. В частности, SL(2,Z) можно использовать для замощения гиперболической плоскости ячейками равной площади.

Действие проективной специальной линейной группы PSL(2,R) на H определяется как

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.}$

Заметим, что действие транзитивно, поскольку для любых ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$ существует элемент ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$, такой, что ${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$. Также верно, что если для всех z из H ${\displaystyle gz=z}$, то g = e.

Стабилизатор или стационарная подгруппа элемента z из H — это множество ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$, которые оставляют z неизменным — gz=z. Стабилизатор i — группа вращения

${\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.}$

Поскольку любой элемент z из H отображается в i некоторым элементом PSL(2,R), это означает, что стационарная группа любого элемента z изоморфна SO(2). Таким образом, H = PSL(2,R)/SO(2). Также расслоение касательных векторов единичной длины на верхней половине плоскости, называемое единичным касательным расслоением^[англ.], изоморфно PSL(2,R).

Верхняя половина плоскости замощается свободными регулярными множествами^[англ.] модулярной группой SL(2,Z).

Геодезические для метрического тензора являются полуокружностями с центрами на оси x и вертикальными лучами с началом на оси x.

Геодезические со скоростью единица, идущие вертикально через точку i, задаются выражением

${\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i=ie^{t}.}$

Поскольку PSL(2,R) действует транзитивно на верхней половине плоскости путём изометрий, эта геодезическая отображается в другие геодезические при помощи действия PSL(2,R). Таким образом, геодезическая общего вида с единичной скоростью задаётся как

${\displaystyle \gamma (t)=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matrix}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

Это даёт полное описание геодезического потока расслоения касательных единичной длины (комплексное линейное расслоение^[англ.]) на верхней половине плоскости.

Метрика модели в полупространстве

${\displaystyle \{\langle x,y,z\rangle |z>0\}\,}$

задаётся выражением

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,}$,

где s измеряет расстояние вдоль (возможно) кривой линии. Прямые в гиперболическом пространстве (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, которые минимизируют расстояние), представляются в этой модели дугами окружностей, исходящих перпендикулярно от плоскости z = 0 (полуокружности, центры которых находятся на плоскости z = 0) и лучами, исходящими перпендикулярно от плоскости z = 0.

Расстояние между двумя точками измеряется в этой метрике вдоль геодезической и равно

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\operatorname {arch} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)=}$

${\displaystyle =2\operatorname {arsh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}\right)\,.}$

Модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного пространства Лобачевского путём замены вещественных чисел x векторами в n-мерном евклидовом пространстве.