Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) - безарбитражная диффузионная однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счет переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учетом начальной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).

Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.

Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle dr_{t}=k\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где для соблюдения требования безарбитражности динамики выполнено равенство

${\displaystyle \theta _{t}=f(0,t)+{\partial _{t}f(0,t) \over k}+{{\sigma }^{2} \over {2k^{2}}}(1-e^{-2kt})}$, где ${\displaystyle f(0,t)}$ - функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени

Данная модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma e^{-k(T-t)}}$

Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:

${\displaystyle r_{t}=e^{-kt}r_{0}+\int _{0}^{t}e^{k(s-t)}\theta _{s}ds+\sigma e^{-kt}\int _{0}^{t}e^{ku}\,dW_{u},}$

Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:

${\displaystyle r_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-kt}r(0)+\int _{0}^{t}e^{k(s-t)}\theta _{s}ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2k}}\left(1-e^{-2kt}\right)\right).}$

Обобщенная модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \sigma }$ представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle dr_{t}=k_{t}\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

где ${\displaystyle \theta _{t}=f(0,t)+{{\partial _{t}f(0,t)} \over {k_{t}}}+{1 \over {k_{t}}}\int _{0}^{t}{\sigma }_{u}^{2}e^{-2\int _{0}^{u}k_{s}ds}du}$

Данная модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma _{t}e^{-k_{t}(T-t)}}$

В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния ${\displaystyle Z_{t}}$, удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению

${\displaystyle dZ_{t}=-k_{t}Z_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}}$

а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом

${\displaystyle r_{t}=f(0,t)+Z_{t}+H(t,t)}$, где функция ${\displaystyle H(t,T)=\int _{0}^{t}\sigma (u,T)\sigma _{P}(u,T)du}$, где ${\displaystyle \sigma _{P}(u,T)=\int _{u}^{T}\sigma (u,s)du}$

при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:

${\displaystyle f(t,T)=f(0,t)+H(t,T)+Z_{t}e^{-\int _{t}^{T}k_{s}ds}}$

Если в вышеприведенной форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует ,что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_{t}},}$

где

${\displaystyle B_{k}(t,T)={\frac {1-e^{-k(T-t)}}{k}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\ln {\frac {P(0,T)}{P(0,t)}}-B_{k}(t,T){\frac {\partial \ln P(0,t)}{\partial t}}-0.5\sigma ^{2}B_{k}^{2}(t,T)B_{2k}(0,t).}$

где ${\displaystyle P(0,t),P(0,T)}$ - значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учетом фактической кривой в этот момент времени) для сроков ${\displaystyle t,T}$

Эти формулы можно записать и в терминах форвардных ставок следующим образом:

${\displaystyle f(t,T)=f(0,t,T)+{\frac {B_{k}(t,T)}{T-t}}(r_{t}-f(0,t))+0.5\sigma ^{2}{\frac {B_{k}^{2}(t,T)B_{2k}(0,t)}{T-t}}.}$

Форвард-лукинг кэплет/флорлет (номер i) предполагает фиксацию ставки на период опциона ${\displaystyle [T_{i-1},T_{i}]}$ в начале этого периода, причем срочность ставки совпадает со срочностью ${\displaystyle \tau _{i}}$ кэплета/флорлета. Формула оценки стоимости является логнормальной (типа Блэка), но с заменой "страйка" и "форвардной ставки":

${\displaystyle V_{i}(t)=P(t,T_{i})z[(1+F_{i}(t)\tau _{i})N(zd_{i})-(1+K\tau _{i})N(z(d_{i}-v_{i}))]}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {ln{\frac {1+F_{i}(t)\tau _{i}}{1+K\tau _{i}}}+0.5v_{i}^{2}}{v_{i}}},\qquad v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)}},\qquad B_{a}(x)={\frac {1-e^{-ax}}{a}}}$

Здесь и далее z равен 1 для кэплета и -1 для флорлета. Во избежание путаницы, параметр k модели Халла-Уайта обозначен здесь через a. При стремлении a к нулю (модель Хо-Ли) функция ${\displaystyle B_{a}(x)}$ стремится к ${\displaystyle x}$, поэтому а ${\displaystyle v_{i}}$ стремится к : ${\displaystyle v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {T_{i-1}-t}}}$ как в классических формулах стоимости опционов (Блэка и Башелье).

Можно показать, что вышеуказанная формула для кэплета (флорлета) эквивалентна формуле для опциона-пут (соответственно - колл) на бескупонную облигацию, распределение цены которой является логнормальным в рамках модели Халла-Уайта. Но необходимо отметить, что это не эквивалентно предположению логнормальности форвардной ставки, поэтому формула оценки не совпадает с формулой Блэка (но она имеет похожий вид).

Бекворд-лукинг кэплет/флорлет предполагает фиксацию ставки на период опциона ${\displaystyle [T_{i-1},T_{i}]}$ в конце этого периода, путем начисления процентов по овернайт-ставке. Для упрощения обычно такое начисление заменяется непрерывным начислением. При этом теоретически возможны два случая - сложное начисление и арифметическое (азиатский опцион).

Формула оценки такого кэплета/флорлета аналогична форвард-лукинг случаю (типа Блэка, логнормальная формула), за исключением значения ${\displaystyle v_{i}}$, которое в данном случае определяется следующим образом:

${\displaystyle v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)+f_{a}(\tau _{i})}},\qquad f_{a}(\tau _{i})={\frac {1}{2a}}\left[{\frac {\tau _{i}-B_{a}(\tau _{i})}{B_{a}(\tau _{i})-B_{2a}(\tau _{i})}}-1\right]={\frac {\tau _{i}}{3}}g(a\tau _{i})}$

В такой записи видно, что здесь "дисперсия" больше, чем в форвард-лукинг случае. Функция ${\displaystyle g(x)\approx 1+{\frac {x}{4}}}$ и стремится к 1 при стремлении x к нулю.

Однако, можно записать точное выражение для дисперсии несколько более упрощенно (но менее наглядна разница со случаем форвард-лукинг):

${\displaystyle v_{i}={\frac {\sigma }{a}}{\sqrt {\tau _{i}-B_{a}(\tau _{i})-{\frac {a}{2}}e^{-2a(T_{i-1}-t)}B_{a}^{2}(\tau _{i})}}}$

При стремлении ${\displaystyle a}$ к нулю (модель Хо-Ли) ${\displaystyle g(a\tau _{i})}$ стремится к 1, и получим следующую формулу

${\displaystyle v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {(T_{i-1}-t)+{\frac {\tau _{i}}{3}}}}}$

В случае арифметического (азиатского) опциона (то есть бэкворд-лукинг опцион с арифметическим накоплением по овернайт ставке) используется та же величина ${\displaystyle v_{i}}$, что и в предыдущем случае, однако формула оценки опциона иная (типа Башелье, нормальная формула):

${\displaystyle V_{i}(t)=P(t,T_{i})[d_{i}N(d_{i})+\phi (d_{i}))]v_{i}}$

${\displaystyle d_{i}=z{\frac {[ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})-0.5v_{i}^{2}]-K\tau _{i}}{v_{i}}},}$

Здесь ${\displaystyle ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})}$ - это примерное значение арифметического накопления форвардных ставок (если овернайт ставки заменить непрерывными форвардными ставками а суммирование - интегралом). А величина ${\displaystyle -0.5v_{i}^{2}}$ - это так называемая корректировка на выпуклость (конвексити аджастмент), связанная с тем, что математическое ожидание арифметического накопления по форвардной мере на момент платежа не в точности равно накопленным форвардным ставкам (разница в рамках модели Халла-Уайта определяется вышеуказанной величиной).

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса
• Модель HJM