Модель исправления ошибок

Модель исправления (коррекции) ошибок (англ. ECM, Error Correction Model) — модель временных рядов, в которой краткосрочная динамика корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. В виде ECM формально можно представить любую модель авторегрессии и распределенного лага (ADL). Однако особо важный смысл это представление имеет для интегрированных временных рядов и тесно связано с понятием коинтеграции. Механизм коррекции ошибок обеспечивает выполнение долгосрочной зависимости между переменными.

Математическая модель

Пусть $y_{t},x_{t}\sim I(1)$ , то есть интегрированные ряды первого порядка. Модель исправления ошибок имеет следующий вид:

$\vartriangle y_{t}=\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\vartriangle y_{t-i}+\sum _{i=0}^{q}\beta _{i}\vartriangle x_{t-i}-\gamma (y_{t-1}-\alpha _{L}-\beta _{L}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$

где $\varepsilon _{t}$ — стационарный процесс (например, белый шум).

Поскольку по предположению первые разности временных рядов стационарны, то выражение в скобках тоже должно быть стационарным процессом, следовательно, существует долгосрочная зависимость между временными рядами

$y_{t}^{*}=\alpha _{L}+\beta _{L}x_{t}^{*}+u_{t}$ ,

где $u_{t}$ — стационарный процесс.

То есть временные ряды коинтегрированы. Таким образом, модель отражает краткосрочную зависимость между изменениями переменных и коррекцию динамики этих рядов в зависимости от величины отклонения (ошибки) от долгосрочной зависимости.

Простейший вариант такой модели, когда $p=q=0$

$\vartriangle y_{t}=\beta _{0}\vartriangle x_{t}-\gamma (y_{t-1}-\alpha _{L}-\beta _{L}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$

В этой модели краткосрочно в среднем изменения зависимой переменной пропорциональны изменению фактора (с учётом стационарной случайной компоненты конечно). Однако, если такая динамика приведет к отклонению от долгосрочной зависимости, то пропорционально этому отклонению корректируется и изменение зависимой переменной. Этот механизм исправления ошибок и гарантирует выполнение долгосрочной зависимости.

См. также

Интегрированный временной ряд
Коинтеграция
Модель авторегрессии и распределенного лага
Векторная авторегрессия

Литература

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.

Похожие исследовательские статьи

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Ме́тод моме́нтов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Регре́ссия (лат. regressio — обратное движение, отход) в теории вероятностей и математической статистике — односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными, то есть математическое выражение, отражающее связь между зависимой переменной у и независимыми переменными х при условии, что это выражение будет иметь статистическую значимость. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении $\text{[math]}$ наблюдается $\text{[math]}$ значений y_i1…y_{in_i} величины y, то зависимость средних арифметических $\text{[math]}$ от $\text{[math]}$ и является регрессией в статистическом понимании этого термина.

Модель авторегрессии — скользящего среднего — одна из математических моделей, использующихся для анализа и прогнозирования стационарных временных рядов в статистике. Модель ARMA обобщает две более простые модели временных рядов — модель авторегрессии (AR) и модель скользящего среднего (MA).

Критерий Дарбина—Уотсона — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Авторегрессионная условная гетероскедастичность — применяемая в эконометрике модель для анализа временных рядов, у которых условная дисперсия ряда зависит от прошлых значений ряда, прошлых значений этих дисперсий и иных факторов. Данные модели предназначены для «объяснения» кластеризации волатильности на финансовых рынках, когда периоды высокой волатильности длятся некоторое время, сменяясь затем периодами низкой волатильности, причём среднюю волатильность можно считать относительно стабильной.

Эклиптическая система координат, или эклиптикальные координаты — это система небесных координат, в которой основной плоскостью является плоскость эклиптики, а полюсом — полюс эклиптики. Она применяется при наблюдениях за движением небесных тел Солнечной системы, плоскости орбит многих из которых, как известно, близки к плоскости эклиптики, а также при наблюдениях за видимым перемещением Солнца по небу за год.

Авторегрессионная (AR-) модель (англ. autoregressive model) — модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда. Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p)-процесс) определяется следующим образом

\text{[math]}

ARIMA — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда. Модель $\text{[math]}$ означает, что разности временного ряда порядка $\text{[math]}$ подчиняются модели $\text{[math]}$ .

Модель авторегрессии и распределённого лага — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель $\text{[math]}$ с одной экзогенной переменной имеет вид:

\text{[math]}

Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации. Концепция коинтеграции впервые была предложена Грэнджером в 1981 году. В дальнейшем данное направление развивали Энгл, Йохансен, Филипс и другие.

Векторная авторегрессия - модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симсом как альтернатива системам одновременных уравнений, которые предполагают существенные теоретические ограничения. VAR-модели свободны от ограничений структурных моделей. Тем не менее, проблема VAR-моделей заключается в резком росте количества параметров с увеличением количества анализируемых временных рядов и количества лагов.

Метод инструментальных переменных — метод оценки параметров регрессионных моделей, основанный на использовании дополнительных, не участвующих в модели, так называемых инструментальных переменных. Метод применяется в случае, когда факторы регрессионной модели не удовлетворяют условию экзогенности, то есть являются зависимыми со случайными ошибками. В этом случае, оценки метода наименьших квадратов являются смещенными и несостоятельными.

Лине́йность по пара́метрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения как линейные модели.

Тест не вложенных моделей — статистический тест, позволяющий сравнить эконометрические модели, каждая из которых не может быть получена путём наложения ограничений на параметры другой модели.

В эконометрике модель с распределённым лагом — это модель временного ряда, в которой в уравнение регрессии включено как текущее значение объясняющей переменной, так и значения этой переменной в предыдущих периодах.

Тест Глейзера — статистический тест, позволяющий оценить наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной (эконометрической) модели.

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическа модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.