Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.
Дифференциа́льная геоме́трия кривы́х — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.
Локальное кольцо — кольцо, которое имеет относительно простую внутреннюю структуру и позволяет описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Кольцом частных S−1R коммутативного кольца R по мультипликативной системе 
называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей.
Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.
Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца 
обозначается 
.
Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.
Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности.
Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.
Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.
Подпись при обучении с ошибками в кольце — один из классов криптосистем с открытым ключом, основанный на задаче обучения с ошибками в кольце, который заменяет используемые алгоритмы подписи RSA и ECDSA. В течение последнего десятилетия проводились активные исследования по созданию криптографических алгоритмов, которые остаются безопасными, даже если у злоумышленника есть ресурсы квантового компьютера. Подпись при обучении с ошибками в кольце относится к числу пост-квантовых подписей с наименьшим открытым ключом и размерами подписи. Использование общей проблемы обучения с ошибками в криптографии было введено Одедом Регевым в 2005 году и послужило источником нескольких криптографических разработок. Основоположники криптографии при обучении с ошибками в кольце, считают, что особенностью этих алгоритмов, основанных на обучении с ошибками, является доказуемое сокращение известных сложных задач. Данная подпись имеет доказуемое сокращение до задачи нахождения кратчайшего вектора в области криптографии на решётках. Это означает, что если можно обнаружить атаку на криптосистему RLWE, то целый класс предполагаемых сложных вычислительных проблем будет иметь решение. Первая подпись на основе RLWE была разработана Вадимом Любашевским и уточнена в 2011 году. Данная статья освещает фундаментальные математические основы RLWE и основана на схеме под названием GLYPH.
