Модуль непрерывности

Для любой функции ${\displaystyle f}$, определённой на множестве ${\displaystyle E}$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )}$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},}$

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из ${\displaystyle E}$ длиной меньше ${\displaystyle \delta }$. Также в литературе встречаются другие обозначения: ${\displaystyle \omega (f,\;\delta )}$ и (реже) ${\displaystyle \omega (\delta ,\;f)}$.

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом ${\displaystyle \delta }$ она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если ${\displaystyle E}$ выпукло:

  ${\displaystyle \omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2}).}$

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  ${\displaystyle \omega _{f}(0){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}0.}$

• Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция ${\displaystyle f}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ и непрерывна на нём, то ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0}$, и наоборот. Данный предел обозначается также ${\displaystyle \omega _{f}(0+)}$.
• Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle [0,\;b-a]}$.

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h|<\delta \}.}$

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка ${\displaystyle n}$, то получим определение модуля непрерывности порядка ${\displaystyle n}$. Обычное обозначение для таких модулей — ${\displaystyle \omega _{n}(f,\;\delta )}$.

• Если ${\displaystyle k}$ — целое число, то ${\displaystyle \omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).}$

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

• Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера