Модулярная кривая

Модулярная кривая ${\displaystyle Y(\mathrm {\Gamma } )}$ — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая, построенная как фактор комплексной верхней половины плоскости H по конгруэнтной подгруппе ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ модулярной группы целочисленных 2×2 матриц SL(2, Z). Термин модулярная кривая может также использоваться для ссылок на компактифицированные модулярные кривые ${\displaystyle X(\mathrm {\Gamma } )}$, которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек (называемых каспами кривой ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$) к фактору (путём действия на расширенной комплексной верхней полуплоскости). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизмов эллиптических кривых, вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения^[англ.] либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. Последний факт и его обобщения имеют фундаментальную важность в теории чисел.

Модулярная группа SL(2, Z) действует на верхней половине плоскости посредством дробно-линейных преобразований. Аналитическое определение модулярной кривой вовлекает выбор конгруэнтной подгруппы ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ группы SL(2, Z), то есть подгруппы, содержащей главную подгруппу конгруэнций уровня N ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } (N)}$ для положительного целого N, где

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv \pm 1\mod N,b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Минимальное такое N называется уровнем ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$. Комплексная структура может быть наложена на фактор ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} }$ для получения некомпактной римановой поверхности, обычно обозначаемой как ${\displaystyle Y(\mathbf {\Gamma } )}$.

Общая компактификация ${\displaystyle Y(\mathrm {\Gamma } )}$ получается путём добавления конечного числа точек, называемых каспами кривой ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$. Конкретнее, это делается путём соглашения, что действует ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ на расширенной комплексной полуплоскости ${\displaystyle \mathbf {H} ^{*}=\mathbf {H} \cup \mathbf {Q} \cup \{\infty \}}$. Мы вводим топологию на ${\displaystyle \mathbf {H} ^{*}}$ путём выбора базиса:

• любое открытое подмножество H,
• для всех r > 0, множество ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$
• для любых взаимно простых чисел a, c и всех r > 0, образ ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$ под действием

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}$

где m, n такие целые, что an + cm = 1.

Это превращает ${\displaystyle \mathbf {H} ^{*}}$ в топологическое пространство, которое является подмножеством сферы Римана ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ действует на подмножестве ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \}}$, разбивая его на конечное число орбит, называемых каспами группы ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$. Если ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ действует транзитивно на ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \}}$, пространство ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}}$ становится компактификацией Александрова ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} }$. Снова можно наложить комплексную структуру на фактор ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}}$, превращая его в риманову поверхность, обозначаемую ${\displaystyle X(\mathrm {\Gamma } )}$, и теперь это компакт. Это пространство является компактификацией кривой ${\displaystyle Y(\mathrm {\Gamma } )}$^[1].

Наиболее общие примеры кривых — ${\displaystyle X(N),X_{0}(N)}$ и ${\displaystyle X_{1}(N)}$, ассоциированные с подгруппами ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } (N),\mathrm {\Gamma } _{0}(N)}$ и ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } _{1}(N)}$.

Модулярная кривая X(5) имеет род 0 — это сфера Римана с 12 каспами, расположенными в вершинах правильного икосаэдра. Покрытие ${\displaystyle X(5)\rightarrow X(1)}$ осуществляется путём действия икосаэдральной группы на сфере Римана. Эта группа является простой группой порядка 60, изоморфной A₅ и PSL(2, 5).

Модулярная кривая X(7) является квартикой Кляйна^[англ.] рода 3 с 24 каспами. Её можно интерпретировать как поверхность с 24 семиугольниками с каспами в центре каждой грани. Это замощение можно рассматривать с помощью детских рисунков^[англ.] и теоремы Белого — каспы являются точками, лежащими на ${\displaystyle \infty }$ (красные точки), в то время как вершины и середины рёбер (чёрные и белые точки) являются точками, лежащими над 0 и 1. Группа Галуа покрытия ${\displaystyle X(7)\rightarrow X(1)}$ является простой группой порядка 168, изометричной PSL(2, 7).

Существует явная классическая модель для ${\displaystyle X_{0}(N)}$, классическая модулярная кривая^[англ.]. Её иногда называют модулярной кривой. Определение ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } (N)}$ может быть переформулировано следующим образом: это подгруппа модулярной группы, которая является ядром приведения по модулю N. Тогда ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } _{0}(N)}$ является наибольшей подгруппой верхних треугольных матриц по модулю N:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},}$

а ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } _{1}(N)}$ является промежуточной группой, определённой как:

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\ \mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространство модулей для эллиптических кривых с уровневой структурой и по этой причине играют важную роль в арифметической геометрии^[англ.]. Уровень N модулярной кривой X(N) — это пространство модулей для эллиптических кривых с базисом для N-кручения. Для X₀(N) и X₁(N) структура уровня является циклической подгруппой порядка N и точкой порядка N соответственно. Эти кривые изучены детально и, в частности, известно, что X₀(N) может быть определено над Q.

Уравнения, определяющие модулярные кривые, являются хорошо известными примерами модулярных уравнений^[англ.]. «Лучшие модели» могут существенно отличаться от моделей, взятых непосредственно из теории эллиптических функций. Операторы Гекке^[англ.] можно изучать геометрически как соответствие^[англ.] связанных пар модулярных кривых.

Замечание: факторы H, являющиеся компактными, оказываются для фуксовых групп ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$ отличными от факторов для подгрупп модулярной группы. Их класс, построенный из алгебр кватернионов представляет интерес в теории чисел.

Покрытие ${\displaystyle X(N)\rightarrow X(1)}$ является накрытием Галуа с группой Галуа SL(2, N)/{1, −1}, которая равна PSL(2, N), если N простое число. Применяя формулу Римана — Гурвица^[англ.] и теорему Гаусса — Бонне можно вычислить род X(N). Для простого уровня ${\displaystyle p\geqslant 5}$,

${\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,}$

где ${\displaystyle \chi =2-2g}$ — эйлерова характеристика, ${\displaystyle |G|=(p+1)p(p-1)/2}$ является порядком группы PSL(2, p), а ${\displaystyle D=\pi -\pi /2-\pi /3-\pi /p}$ является угловым дефектом сферического (2,3,p) треугольника. Это приводит к формуле

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).}$

Тогда X(5) имеет род 0, X(7) имеет род 3, а X(11) имеет род 26. Для p = 2 или 3 нужно принимать также во внимание разветвление, то есть существование элементов порядка p в ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {Z} )}$, и факт, что ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,2)}$ имеет порядок 6, а не 3. Имеется более сложная формула для рода модулярной кривой X(N) любого уровня N, которая использует дивизоры N.

Поле модулярных функций — это поле функций^[англ.] модулярной кривой (или, иногда, некоторых других пространств модулей, которые оказываются неприводимыми многообразиями^[англ.]). Род нуль означает, что такое поле функций имеет единственную трансцендентную функцию в качестве генератора. Например, j-функция генерирует поле функций X(1) = PSL(2, Z)\H. Традиционное название такого генератора, который уникален с точностью до преобразования Мёбиуса и может быть должным образом нормализован, — Hauptmodul (заимствовано с немецкого, буквальный перевод — главный модуль).

Пространства X₁(n) имеют род ноль для n = 1, …, 10 и n = 12. Поскольку эти кривые определены над Q, из этого следует, что существует бесконечно много рациональных точек на каждой такой кривой, а потому бесконечно много эллиптических кривых, определённых над Q с n-вращением для этих значений n. Обратное утверждение, что возможны только эти значения n, является теоремой Мазура о кручении^[англ.].

Модулярные кривые рода 0, достаточно редкие, оказываются особенно важными, поскольку они связаны с гипотезой чудовищного вздора. Первые семь коэффициентов q-расширений их главного модуля были вычислены уже в XIX-м столетии, но каков же был шок, когда те же самые большие целые числа оказались размерностями представлений наибольшей простой группы Монстр.

Другая связь заключается в том, что модулярная кривая, соответствующая нормализатору ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } _{0}(p)^{+}}$ подгруппы ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } _{0}(p)}$ группы SL(2, R) имеет род нуль тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, а это в точности простые делители порядка монстра. Результат относительно ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } _{0}(p)^{+}}$ принадлежит Жан-Пьеру Серру, Андрю Оггу^[англ.] и Джону Г. Томпсону (1970-е годы), а наблюдение относительно монстра принадлежит Оггу, который пообещал бутылку виски Jack Daniel's любому, кто первым объяснит этот факт, и это была стартовая точка теории «чудовищного вздора»^[2].

Связи уходят очень глубоко и, как продемонстрировал Ричард Борчердс, сюда вовлекаются обобщённые алгебры Каца-Муди. Работа в этой области подчёркивает важность мероморфных модулярных функций, которые могут содержать полюса и каспы, в противоположность модулярным формам, везде голоморфным, включая каспы, основной объект изучения в 20-м столетии.

• Теорема Манина — Дринфельда^[англ.]
• Теорема о модулярности
• Многообразие Шимура^[англ.], обобщение модулярных кривых на большие размерности

• Jean-Pierre Serre. Cours d'arithmétique. — 2nd. — Presses Universitaires de France, 1977. — Т. 2. — (Le Mathématicien).
• Goro Shimura. Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. — Princeton University Press, 1994. — Т. 11. — (Publications of the Mathematical Society of Japan). — ISBN 978-0-691-08092-5.
• Panchishkin A.A., Parshin A.N. Modular curve // Encyclopaedia of Mathematics. — ISBN 1-4020-0609-8.
• Andrew P. Ogg. Automorphismes de courbes modulaires // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres (1974–1975). — 1974. — Т. 16.