Модулярная решётка

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов $a,b\in L$ модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

\forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон $N_{5}$ , любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки $a$ и $b$ интервалы $[a\wedge b,b]$ и $[a,a\vee b]$ изоморфны, прямое отображение: $\phi (x)=x\vee a$ , обратное — $\psi (y)=y\wedge b$ .

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент $a$ называется левомодулярным, если для любого элемента $b$ пара $a,b$ модулярна.

Элемент $b$ называется правомодулярным, если для любого элемента $a$ пара $a,b$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.

Литература

Дедекиндова решётка — статья из Математической энциклопедии. Л. А. Скорняков
Салий В. Н., Скорняков Л. А. . Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
Г. Гретцер. IV. Модулярные решётки // Общая теория решёток = General Lattice Theory / под редакцией Д. М. Смирнова. — М.: Мир, 1981. — С. 211—224. — 456 с.
Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 568 с.

Похожие исследовательские статьи

А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Предика́т — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение. В лингвистике субъекту соответствует подлежащее, а предикату — сказуемое.

Бина́рное (двуме́стное) отноше́ние (соответствие) — отношение между двумя множествами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: $\text{[math]}$ . Бинарное отношение на множестве $\text{[math]}$ — любое подмножество $\text{[math]}$ , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество $\text{[math]}$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $\text{[math]}$ . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу $\text{[math]}$ , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $\text{[math]}$ и определив $\text{[math]}$ полученный моноид обычно обозначается как $\text{[math]}$ .

Ве́кторная решётка — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Решётка — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Логика высказываний, пропозициональная логика или исчисление высказываний, также логика нулевого порядка — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими. В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

Банахова решётка — векторная решётка, являющаяся банаховым пространством с монотонной нормой, то есть в которой для любой пары векторов $\text{[math]}$ выполнено $\text{[math]}$ .

Алгебра — множество $\text{[math]}$ , называемое носителем алгебры, снабжённое набором $\text{[math]}$ -арных алгебраических операций на $\text{[math]}$ , называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

<span class="mw-page-title-main">Законы де Моргана</span>

Законы де Мо́ргана — логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания. Названы в честь шотландского математика Огастеса де Моргана. В краткой форме звучат так:

Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ. Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания, закон де Моргана, дистрибутивность.

Тавтологией в логике называется тождественно истинное высказывание, инвариантное относительно значений своих компонентов.

Многозначная логика — это логика высказываний, в которой существует более двух истинностных значений логического выражения. Традиционно, в классической логике Аристотеля, мы имеем дело только с двумя возможными значениями — «истиной» или «ложью». Однако данная двухзначная логика может быть дополнена до n — значной с n > 2. Наиболее популярными в литературе являются трехзначная логика, конечнозначная и бесконечнозначная логики.

Решётка — набор векторов евклидова пространства $\text{[math]}$ , образующий дискретную группу по сложению.

Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

Полурешётка в общей алгебре — полугруппа, бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.