Монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение

Пусть $X$ — линейное топологическое пространство, $u,v$ — произвольные элементы $u,v\in X$ . Обозначим $\langle u,v\rangle$ скалярное произведение элементов $u,v$ , $\|.\|$ — норма в пространстве $X$ . Оператор $A\in (X\to X^{*})$ называется:

монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant 0$ ;
строго монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle >0$ для $u\neq v$ ;
d - монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ для некоторой строго возрастающей функции $\alpha$ на $\left[0,\infty \right)$ ;
равномерно монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant \rho (\|u-v\|)$ для некоторой строго возрастающей функции $\rho$ на $\left[0,\infty \right)$ с $\rho (0)=0$ ;
сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant m\|u-v\|^{2}$ , $m>0$ ;
радиально непрерывным, если при любых фиксированных $u,v\in X$ вещественная функция $s\to \langle A(u+sv),v\rangle$ непрерывна на $\left[0,1\right]$ ;
коэрцитивным, если существует определённая на $\left[0,\infty \right)$ вещественная функция $\gamma$ с $\lim _{s\to \infty }=+\infty$ , такая, что $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$ .

Термин Монотонный оператор впервые ввел Вайнберг М. М.

Основная теорема теории монотонных операторов

Пусть $A\in (X\to X^{*})$ — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения $Au=f$ при любом $f\in X*$ непусто, слабо замкнуто и выпукло^[1].

Примечания

↑ Гаевский, 1978, с. 95.

Литература

Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.

Похожие исследовательские статьи

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Вириал $\text{[math]}$ для множества $\text{[math]}$ точечных частиц в механике определяется как:

\text{[math]}

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке $\text{[math]}$ уравнения Штурма — Лиувилля

\text{[math]}

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

В комбинаторике числом Эйлера I рода из n по k, обозначаемым $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ , называется количество перестановок порядка n с k подъёмами, то есть таких перестановок $\text{[math]}$ , что существует ровно k индексов j, для которых $\text{[math]}$ .

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Гравитационный потенциал</span>

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой $\text{[math]}$ . Гравитационный потенциал в данной точке пространства, задаваемой радиус-вектором $\text{[math]}$ , численно равен работе, которую выполняют гравитационные силы при перемещении пробного тела единичной массы по произвольной траектории из данной точки в точку, где потенциал принят равным нулю. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии $\text{[math]}$ небольшого тела, помещённого в эту точку, к массе тела $\text{[math]}$ . Как и потенциальная энергия, гравитационный потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого, обычно (но не обязательно) подбираемого таким образом, чтобы потенциал на бесконечности оказался нулевым. Например, гравитационный потенциал на поверхности Земли, отсчитываемый от бесконечно удалённой точки (если пренебречь гравитацией Солнца, Галактики и других тел), отрицателен и равен −62,7·10⁶ м²/с² (половине квадрата второй космической скорости).

Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой.

<span class="mw-page-title-main">Метод регуляризации Тихонова</span> алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $\text{[math]}$ . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $\text{[math]}$ в виде $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $\text{[math]}$ к точному значению $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ приближённое решение $\text{[math]}$ стремилось бы к желаемому точному решению $\text{[math]}$ уравнения $\text{[math]}$ .

Изотермо-изобарический ансамбль — статистический ансамбль, отвечающий физической системе, в которой поддерживается постоянное внешнее давление $\text{[math]}$ , а также обменивающейся энергией с термостатом и находящейся с ним в тепловом равновесии. При этом число частиц $\text{[math]}$ в системе считается постоянным, а объём $\text{[math]}$ может флуктуировать.

Спектральные методы — это класс используемых в прикладной математике методик для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, иногда использующих Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в представлении решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» с последующим выбором коэффициентов в сумме, наиболее удовлетворяющих заданным уравнениям.

Выпуклое сопряжение функции — это обобщение преобразования Лежандра, которое применяется к невыпуклым функциям. Оно известно также как преобразование Лежандра — Фенхеля или преобразование Фенхеля. Сопряжение используется для преобразования задачи оптимизации в соответствующую двойственную задачу, которую, возможно, проще решить.

В теории многих тел термин функция Грина иногда используется как синоним корреляционной функции, но относится к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.