Монстр Тарского

Перейти к навигации Перейти к поиску

Монстр Тарского — бесконечная группа, каждая нетривиальная подгруппа которой является циклической группой фиксированного простого порядка. Названа в честь Альфреда Тарского.

Существование монстров Тарского было доказано Ольшанским в 1979 году. Они являются источником контрпримеров в теории групп, например к задаче Бернсайда и гипотезе фон Неймана.

Определение

Пусть $p$ — фиксированное простое число. Бесконечная группа $G$ называется монстром Тарского для $p$ , если все собственные подгруппы (то есть все подгруппы, кроме тривиальной $\{1\}$ и $G$ ) имеют по $p$ элементов.

Свойства

Монстр Тарского конечно порождён.
- Более того, он порождается любыми двумя некоммутирующими элементами.
Монстр Тарского — простая группа.
По построению Ольшанского существует континуум неизоморфных монстров Тарского для каждого простого числа $p>10^{75}$ .

См. также

Монстр (группа)

Ссылки

А. Ю. Ольшанский. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 309—321.
А. Ю. Ольшанский. Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка // Алгебра и логика : журнал. — 1982. — Т. 21, № 5. — С. 553—618. — ISSN 0373-9252.
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. — Москва: Наука, 1989. — 446 с. — ISBN 5-02-013916-5. Перевод: Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series), vol. 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6 {{citation}}: Указан более чем один параметр |ISBN= and |isbn= ()

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент, и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Циклическая группа — группа $\text{[math]}$ , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a. Математическое обозначение: $\text{[math]}$ .

Прямое произведение групп — операция, которая по группам $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как $\text{[math]}$ . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ и M₂₄, введённые Эмилем Леонардом Матьё. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Задача Бёрнсайда — серия задач в теории групп вокруг вопроса о возможности определить конечность группы исходя лишь из свойств её элементов: должна ли быть конечно порождённая группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, обязательно конечной.

В математике ряд подгрупп — это цепь подгрупп вида $\text{[math]}$ . Ряды подгрупп могут упростить изучение группы $\text{[math]}$ сводя его к изучению подгрупп этой группы и к изучению взаимосвязей между ними. Ряды подгрупп могут формировать важные инварианты заданной группы $\text{[math]}$ .

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

<span class="mw-page-title-main">Квазициклическая группа</span>

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p^∞)

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое $\text{[math]}$ , такое что $\text{[math]}$ -кратное групповое умножение данного элемента $\text{[math]}$ на себя даёт нейтральный элемент:

\text{[math]}

Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Гипотеза фон Неймана — опровергнутая гипотеза о структуре аменабельных групп; предполагала, что любая неаменабельная группа содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

$\text{[math]}$ -примарная абелева группа — абелева группа $\text{[math]}$ , такая что порядок любого элемента из $\text{[math]}$ является степенью $\text{[math]}$ .

Говорят, что группа является ЦА-группой, CA-группой или централизаторной абелевой группой, если централизатор любого нетождественного элемента является абелевой подгруппой. Конечные ЦА-группы имеют историческое значение как ранний пример типов классификаций, которые потом использовались в теореме Томпсона–Фейта и классификации простых конечных групп. Некоторые важные бесконечные группы являются ЦА-группами, такие как свободные группы, монстры Тарского и некоторые из групп Бёрнсайда, а локально конечные ЦА-группы были классифицированы точно. ЦА-группы также называются коммутативно-транзитивными группами, поскольку коммутативность является транзитивным отношением для нетождественных элементов группы тогда и только тогда, когда группа является ЦА-группой.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.