Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы^[англ.] (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом^[1][2] как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе^[англ.]. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца➤ и мультиоператорные алгебры➤.

Мультиоператорная группа или ${\displaystyle \Sigma }$-группа — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle }$, образующая группу ${\displaystyle \langle G,+,-,0\rangle }$, притом для всякой ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$ выполнено ${\displaystyle \sigma (0,\dots ,0)=0}$, то есть ${\displaystyle \{0\}}$ образует подсистему в ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$. Принимается, что часть сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — ${\displaystyle \Sigma }$-группа.

Нормальная подгруппа ${\displaystyle N}$ группы ${\displaystyle \langle G,+,-,0\rangle }$ называется идеалом мультиоператорной группы ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle }$, если для любой ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$, произвольных ${\displaystyle g_{i}\in G}$ (${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$) и ${\displaystyle a\in N}$ все элементы вида:

${\displaystyle -\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})+\sigma (g_{1},\dots ,g_{i-1},a+g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})}$

вновь принадлежат ${\displaystyle N}$. Может использоваться обозначение ${\displaystyle N\triangleleft {\mathfrak {G}}}$ по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ мультиоператорной группы ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle }$ определяется как элемент ${\displaystyle -g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}}$, обозначается ${\displaystyle [g_{1},g_{2}]}$.

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами ${\displaystyle [g,h]}$ и элементами вида:

${\displaystyle -\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})}$

для всякой ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$ из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов ${\displaystyle \{N_{i}\mid i\in I\}}$ мультиоператорной группы ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle }$ вновь является её идеалом, притом этот идеал ${\displaystyle N=\bigcap N_{i}}$ совпадает с подгруппой группы ${\displaystyle \langle G,+,-,0\rangle }$, порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle G,+,-,0,\Sigma \rangle }$, аддитивная группа которой абелева и каждая ${\displaystyle n}$-арная операция ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$ дистрибутивна относительно группового сложения:

${\displaystyle \sigma (g_{1},\dots ,g_{i}+h_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})+\sigma (g_{1},\dots ,h_{i},\dots ,g_{n})}$

для любых ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in G}$.

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ которой образуют поле ${\displaystyle \Sigma _{1}}$, притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех ${\displaystyle \lambda \in \Sigma _{1}}$, всех ${\displaystyle n}$-арных операций арности больше единицы ${\displaystyle \sigma \in \Sigma \setminus \Sigma _{1}}$ и произвольных элементов ${\displaystyle g_{i}\in G}$ выполнено:

${\displaystyle \lambda \sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (\lambda g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,\lambda g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,\lambda g_{n})}$.

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная ${\displaystyle \Sigma }$-алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы ${\displaystyle N\triangleleft G}$, в которых наличие элемента ${\displaystyle g_{i}\in N}$ влечёт содержание в них также всех элементов вида ${\displaystyle \sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})\in N}$^[3].

• А. Г. Курош. Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. М. Виноградов. Мультиоператорная группа // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.