Надбарьерное отражение

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Надбарье́рное отраже́ние — термин, употребляемый в квантовой механике для описания невозможного в классической физике явления отражения движущейся частицы от потенциального барьера, максимальная высота которого меньше полной энергии частицы . Коэффициент отражения определяется формой барьера (в одномерном случае ), а также энергией и массой частицы. При этом коэффициент прохождения оказывается меньше единицы. Аналогичный эффект имеет место при прохождении частицы над потенциальной ступенькой или квантовой ямой.

Подход к рассмотрению

Независимо от профиля потенциала движение частицы рассматривается с использованием стационарного уравнения Шрёдингера. Принимается, что частица движется слева направо (вдоль оси ), потенциал на большом расстоянии слева от барьера равен нулю, а справа (возможно, тоже равно нулю). В таком случае волновые функции слева и справа от барьера представляют собой плоские волны вида:

(далеко слева),
(далеко справа).
и — модули волновых векторов.

Масса , вообще говоря, может различаться по областям, почему её символ и снабжён дополнительным индексом; — постоянная Планка.

Если профиль содержит резкие скачки, то на всех границах должно выполняться условие «сшивки» волновой функции и токов вероятности; последнее требует обеспечения непрерывности величины .

В процессе решения уравнения Шрёдингера определяются неизвестные константы и , с использованием которых далее находятся коэффициенты отражения и прохождения:

.

Ниже представлены результаты такого рассмотрения для нескольких систем.

Примеры

Скачок потенциальной энергии

Потенциальная энергия как функция координаты

Задача о переходе частицы, без изменения её массы, в область с другой потенциальной энергией , имеет следующее решение:

.

Коэффициенты отражения и прохождения составляют

.

Коэффициент отражения имеет конечное значение, но при стремлении к бесконечности он стремится к нулю.

Прямоугольный потенциальный барьер

Потенциальная энергия как функция координаты

В случае прямоугольного барьера потенциал по обе его стороны нулевой (и ). Условия сшивки действуют на двух границах: при и . Волновые векторы слева-справа и в барьере составляют

.

Результат для коэффициентов отражения и прохождения:

.

При коэффициент отражения в общем случае отличен от нуля. Но при определённых энергиях становится из-за обнуления синуса.

Изменение эффективной массы

Потенциальная энергия, как функция координаты неизменна, но масса для частицы слева и справа от нуля различна

В данном случае коэффициенты и рассчитываются по формулам:

.

Соответственно, коэффициенты отражения и прохождения составят

.

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Бесконечная квантовая яма

Прохождение частицы над ямой в виде дельта-функции

Дельтообразная квантовая яма — это потенциал вида , где .

Примечание: при наличии -функциональных особенностей потенциала несколько изменяются условия сшивки производных, вытекающие из требования непрерывности тока, см. конкретнее.

Коэффициенты отражения и прохождения для такой ямы составляют

.

Получается, что отражение частицы возможно при её надъямном движении с любой энергией , хотя при повышении энергии вероятность отражения снижается.

Практическая релевантность

Все типы структур, представленные выше, встречаются или могут быть созданы на практике. В технологии полупроводниковых гетероструктур есть возможность получения многослойных систем с различными материалами. Поскольку возможности варьирования комбинаций материалов достаточно широки, вполне реально получение желаемых высот барьеров (от долей эВ до нескольких эВ) и величин эффективной массы. Соответственно, роль профиля потенциала будет играть профиль зоны проводимости .

Литература

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
  • Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.