Надграфик

Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Формально, для функции $f:M\to \mathbb {R}$ надграфиком называется множество:

\operatorname {epi} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\geqslant f(x){\bigr \}}

Надграфик включает в себя график функции $f$ , то есть $\operatorname {epi} f\supset \Gamma ,$ где:

\Gamma \equiv \left\{{\bigl (}x,f(x){\bigr )}\in M\times \mathbb {R} \mid x\in M\right\}

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

Двойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции $f:M\to \mathbb {R}$ определяется как множество точек, лежащих под графиком:

\operatorname {hyp} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\leqslant f(x){\bigr \}}

Литература

Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — Новосибирск: Издательство Института математики, 2000. — 336 с.
Rockafellar, R. Tyrrell. Variational Analysis / R. Tyrrell Rockafellar, Roger J.-B. Wets. — Springer Science & Business Media, 26 June 2009. — Vol. 317. — ISBN 9783642024313.
Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.

Похожие исследовательские статьи

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

Выпуклой оболочкой множества $\text{[math]}$ называется наименьшее выпуклое множество, содержащее $\text{[math]}$ . «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

<span class="mw-page-title-main">Касательное пространство</span>

Касательное пространство к гладкому многообразию $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $\text{[math]}$ .

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция $\text{[math]}$ , приращение которой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение $\text{[math]}$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости, являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Числова́я фу́нкция — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\text{[math]}$ -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\text{[math]}$ .

Замыкание в анализе — операция, строящая по заданной функция $\text{[math]}$ функцию $\text{[math]}$ , определяемую как:

\text{[math]}

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Дзета-функция Дедекинда $\text{[math]}$ — это дзета-функция алгебраического числового поля $\text{[math]}$ , являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Онлайновое машинное обучение — это метод машинного обучения, в котором данные становятся доступными в последовательном порядке и используются для обновления лучшего предсказания для последующих данных, выполняемого на каждом шаге обучения. Метод противоположен пакетной технике обучения, в которой лучшее предсказание генерируется за один раз, исходя из полного тренировочного набора данных. Онлайновое обучение является общей техникой, используемой в областях машинного обучения, когда невозможна тренировка по всему набору данных, например, когда возникает необходимость в алгоритмах, работающих с внешней памятью. Метод используется также в ситуациях, когда алгоритму приходится динамически приспосабливать новые схемы в данных или когда сами данные образуются как функция от времени, например, при предсказании цен на фондовом рынке. Алгоритмы онлайнового обучения могут быть склонны к катастрофическим помехам, проблеме, которая может быть решена с помощью подхода пошагового обучения.

Выпуклое программирование — это подобласть математической оптимизации, которая изучает задачу минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах. В то время как многие классы задач выпуклого программирования допускают алгоритмы полиномиального времени, математическая оптимизация в общем случае NP-трудна.

Выпуклое сопряжение функции — это обобщение преобразования Лежандра, которое применяется к невыпуклым функциям. Оно известно также как преобразование Лежандра — Фенхеля или преобразование Фенхеля. Сопряжение используется для преобразования задачи оптимизации в соответствующую двойственную задачу, которую, возможно, проще решить.

Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля.

<span class="mw-page-title-main">Выпуклый анализ</span>

Выпуклый анализ — это ветвь математики, посвящённая изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств, часто имеющая приложения в выпуклом программировании, подобласти теории оптимизации.

Метод проксимального градиента — это обобщение проецирования, используемое для решения недифференцируемых задач выпуклого программирования.

В математике эллиптическая модульная лямбда-функция является неэлементарной голоморфной функцией на верхней полуплоскости комплексных чисел. Эта функция является неизменной относительно конгруэнтной подгруппы Γ(2). Она описывается как главный модуль модулярной кривой X(2).

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.