Надстройка (динамические системы)

Надстройка в теории динамических систем — специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций данного диффеоморфизма ${\displaystyle F:M\to M}$ многообразия ${\displaystyle M}$. Процедура построения надстройки является в определённом смысле обратной к взятию отображения Пуанкаре на трансверсальном сечении к потоку, и в определённом смысле обосновывает нестрогое утверждение «эффекты, которые наблюдаются для отображений в размерности ${\displaystyle k}$, наблюдаются для потоков в размерности ${\displaystyle k+1}$». Обобщением понятия надстройки является специальный поток — в этом случае, время возвращения берётся непостоянным.

Надстройкой над диффеоморфизмом ${\displaystyle F:M\to M}$ многообразия ${\displaystyle M}$ называется поток, заданный векторным полем ${\displaystyle \partial /\partial t}$ на многообразии

${\displaystyle {\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,1]\}/((x,1)\sim (F(x),0)).}$

Иными словами, многообразием потока является произведение ${\displaystyle M\times [0,1]}$, у которого верхняя и нижняя границы отождествлены по отображению ${\displaystyle F}$, а векторное поле просто «вертикально». Тем самым, отображение последования за время ${\displaystyle n}$ вдоль этого поля соответствует ${\displaystyle n}$ итерациям ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle x}$-координате.

Эти поток и многообразие можно также представить как фактор многообразия ${\displaystyle M\times \mathbb {R} }$ с «вертикальным» векторным полем ${\displaystyle \partial /\partial t}$ по (коммутирующему с этим полем) действию группы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождённому отображением ${\displaystyle (x,t)\mapsto (F(x),t+1)}$.

Обобщением понятия надстройки является специальный поток, в котором время возвращения на сечение ${\displaystyle M\times \{0\}}$ оказывается функцией. А именно, специальным потоком, соответствующим отображению ${\displaystyle F}$ и функции ${\displaystyle \varphi }$ называется поток, заданный векторным полем ${\displaystyle \partial /\partial t}$ на многообразии

${\displaystyle {\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,\varphi (x)]\}/((x,\varphi (x))\sim (F(x),0)).}$