Направленность (математика)

Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Направленностью в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества ${\displaystyle \mathrm {A} }$ в ${\displaystyle X}$. Обозначения: ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ или просто ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$.

Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки ${\displaystyle x}$ топологического пространства рассматривается семейство ${\displaystyle B_{x}}$ всех её окрестностей. Отношение включения задает на ${\displaystyle B_{x}}$ структуру направленного множества: окрестности ${\displaystyle U,V\in B_{x}}$ упорядочены как ${\displaystyle U\geqslant V}$, если ${\displaystyle U\subset V}$. Каждой окрестности ${\displaystyle U\in B_{x}}$ сопоставляется ее произвольная точка ${\displaystyle x_{U}\in U}$, такое отображение ${\displaystyle U\mapsto x_{U}}$ является направленностью.

Направленность ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ называется сходящейся к точке ${\displaystyle x}$, если для любой окрестности ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle x}$ существует индекс ${\displaystyle \alpha _{V}\in \mathrm {A} }$ такой, что ${\displaystyle x_{\alpha }\in V}$ для всякого ${\displaystyle \alpha \geqslant \alpha _{V}}$. Точка ${\displaystyle x}$ называется пределом направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ и обозначается ${\displaystyle x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x}$.

Множество всех пределов направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ обозначается как ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$. Если направленность имеет ровно один предел ${\displaystyle x}$, то пишут ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$

Если топологическое пространство хаусдорфово, то каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел. Верно и обратное: если каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел, то пространство хаусдорфово.

Понятие предела направленности тесно связано с понятием точки прикосновения: точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Понятие подпоследовательности можно обобщить на направленности. Направленность ${\displaystyle \left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} }}$ называется поднаправленностью (более тонкой направленностью) направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$, если для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {A} }$ найдётся такой индекс ${\displaystyle \beta (\alpha )\in \mathrm {B} }$, что для всякого ${\displaystyle \beta '\geqslant \beta (\alpha )}$ найдется ${\displaystyle \alpha '\geqslant \alpha }$, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '}}$.

Каждая последовательность обладает поднаправленностью, которая сама последовательностью не является.

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.