Негафибоначчи

В математике, числа негафибоначчи — отрицательно индексированные элементы последовательности чисел Фибоначчи.

Числа негафибоначчи определяются индуктивно следующим рекуррентным соотношением:

F₋₁ = 1,
F₋₂ = -1,
F_n = F_(n+2)−F_(n+1).

Они также могут быть определены по формуле F_−n = (−1)ⁿ⁺¹F_n.

Первые 10 чисел последовательности негаФибоначчи:

n	F(n)
−1	1
−2	−1
−3	2
−4	−3
−5	5
−6	−8
−7	13
−8	−21
−9	34
−10	−55

Целочисленное представление

Любое целое число может быть уникально представлено — согласно работе Дональда Кнута^[1] — как сумма чисел негаФибоначчи, в которых не используются никакие два последовательных числа негаФибоначчи. Например:

−11 = F₋₄ + F₋₆ = (-3) + (-8)
12 = F₋₂ + F₋₇ = (-1) + 13
24 = F₋₁ + F₋₄ + F₋₆ + F₋₉ = 1 + (-3) + (-8) + 34
−43 = F₋₂ + F₋₇ + F₋₁₀ = (-1) + 13 + (-55)
0 представлен пустой суммой.

Примечательно, что 0 = F₋₁ + F₋₂, например, таким образом, уникальность представления действительно находится в зависимости от условия неиспользования каких-либо двух последовательных чисел негаФибоначчи.

Это позволяет системе кодирования негаФибоначчи кодировать целые числа, подобных представлению теоремы Цеккендорфа для перекодировки чисел с применением двоичного представления. В последовательности, представляющей целое число x, n ^th, цифра 1, если F_n появляется в сумме, которая представляет x; та цифра отлична от 0. Например, число 24 может быть представлено последовательностью 100101001, у которого есть цифра 1 в местах 9, 6, 4, и 1, потому что 24 = F₋₁ + F₋₄ + F₋₆ + F₋₉. Целое число x представлено последовательностью нечётной длины тогда и только тогда, когда $x>0$ .

Тождества

Отношения к нормальной, положительной последовательности чисел Фибоначчи:

$F(-n)=(-1)^{n+1}\cdot F(n)$

Примечания

↑ «Числа негаФибоначчи и гиперболический самолёт» (доклад, представленный на ежегодной встрече Математической Ассоциации Америки, Гостиница Фермонт, Сан Хосе, Калифорния, 2008-12-11)[1]

Похожие исследовательские статьи

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

<span class="mw-page-title-main">Сложение</span> математическая операция

Сложе́ние (прибавле́ние) — одна из основных бинарных математических операций двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов $\text{[math]}$ из множества $\text{[math]}$ ставится в соответствие элемент $\text{[math]}$ , называемый суммой $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики. Приоритет её в обычном порядке операций равен приоритету вычитания, но ниже, чем у возведения в степень, извлечения корня, умножения и деления. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «плюс»: $\text{[math]}$ .
Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов. Так, на картинке справа запись $\text{[math]}$ обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Числа Фибоначчи</span> элементы числовой последовательности

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …,

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

\text{[math]}

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб».

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.

Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.

Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от $\text{[math]}$ , с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8 и т. д.

Последовательность в математике — пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Обычно под последовательностью понимается бесконечная последовательность, при этом конечные последовательности в некоторых случаях также рассматриваются.

Теорема Цекендорфа, названная в честь бельгийского математика Эдуарда Цекендорфа — теорема о представлении целых чисел в виде сумм чисел Фибоначчи.

Числа Фибоначчи образуют определённую с помощью рекурсии последовательность

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

для целого числа

\text{[math]}

Слово Фибоначчи — это некоторая последовательность двоичных цифр. Слово Фибоначчи формируется путём повторения конкатенации тем же образом, что и числа Фибоначчи образуются путём повторяемых сложений.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

Целочисленная последовательность называется полной последовательностью, если любое положительное целое число может быть выражено в виде суммы значений из последовательности, при этом каждое значение можно использовать только один раз.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.