Неопределённая ортогональная группа

Неопределённая ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную^[англ.] симметричную билинейную форму^[англ.] с сигнатурой ${\displaystyle (p,q)}$, где ${\displaystyle n=p+q}$. Размерность группы равна ${\displaystyle n(n-1)/2}$.

Неопределённая специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ является подгруппой ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$ и ${\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(p,q)}$, которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

Группа ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q;\mathbb {C} )}$ изоморфны обычной ортогональной группе ${\displaystyle \mathrm {O} (p+q;\mathbb {C} )}$, поскольку преобразование ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$ изменяет сигнатуру формы.

В пространстве чётной размерности ${\displaystyle n=2p}$ группа ${\displaystyle \mathrm {O} (p,p)}$ известна как расщепимая ортогональная группа.

Основным примером является группа ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$ (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу^[англ.]. Конкретно, это матрицы ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$ которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.

В физике группа Лоренца ${\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}$ играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.

Можно определить ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$. Рассмотрим ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ диагональную матрицу ${\displaystyle g}$, заданную выражением:

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Теперь мы можем определить симметричную билинейную форму^[англ.] ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$ формулой

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ является стандартным скалярным произведением на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$.

Мы определяем тогда ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, как группу ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ матриц, которые сохраняют эту билинейную форму^[1]:

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Более явно ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ состоит из матриц ${\displaystyle A}$, таких что^[2]:

${\displaystyle gA^{\mathrm {T} }g=A^{-1}}$,

где ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ является транспонированной матрицей для ${\displaystyle A}$.

Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы ${\displaystyle \mathrm {GL} (p+q)}$) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$.

Если и p, и q положительны, то ни ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, ни ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {O} (p,q))\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}}$, которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.

Единичная компонента^[англ.] группы ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ часто обозначается как ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$ и может быть отождествлена с множеством элементов в ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$, которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением ${\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(1,3)}$ для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).

Группа ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ также не компактна, но содержит компактные подгруппы ${\displaystyle \mathrm {O} (p)}$ и ${\displaystyle \mathrm {O} (q)}$, действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, ${\displaystyle \mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q)}$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, в то время как ${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))}$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$. Аналогично, ${\displaystyle \mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)}$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$. Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.

В частности, фундаментальная группа группы ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$ является произведением фундаментальных групп компонент ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\mathrm {SO} (p))\times \pi _{1}(\mathrm {SO} (q))}$ и задается как:

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))}$	p = 1	p = 2	${\displaystyle p\geqslant 3}$
q = 1	${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} }$	${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$
q = 2	${\displaystyle \mathrm {Z} }$	${\displaystyle \mathrm {Z} \times \mathrm {Z} }$	${\displaystyle \mathrm {Z} \times \mathrm {C} _{2}}$
q ≥ 3	${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {Z} }$	${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$

В пространствах чётной размерности средние группы ${\displaystyle \mathrm {O} (n,n)}$ известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это расщепимая группа Ли^[англ.], соответствующая комплексной алгебре Ли so_2n (группа Ли расщепимой вещественной формы^[англ.] алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы ${\displaystyle \mathrm {O} (n):=\mathrm {O} (n,0)=\mathrm {O} (0,n)}$, которая является компактной вещественной формой^[англ.] комплексной алгебры Ли.

Случай (1, 1) соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.

В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.

Расщепимые ортогональные группы используются для построения обобщённого многообразия флагов^[англ.] над неалгебраически замкнутыми полями.

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма^[англ.]

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2015. — Т. 222. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3319134666.
• Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction // Progress in Mathematics. — Second Edition. — Boston: Birkhäuser, 2002. — Т. 140. — ISBN 0-8176-4259-5. — см. страницу 372 для описания неопределённой ортогональной группы
• В. Л. Попов. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 4.
• Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 6th. — Providence, Rhole Island: AMS Chelsea publishing, 2011. — С. 335. — ISBN 978-0-8218-5282-8.