Неопределённый интеграл
Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции[1].
Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то
- ,
где С — произвольная постоянная.
Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.
- Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную
Подведение под знак дифференциала
При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:
Основные методы интегрирования
1. Метод введения нового аргумента. Если
то
где — непрерывно дифференцируемая функция.
2. Метод разложения. Если
то
3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая
где непрерывна вместе со своей производной , получим
4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то
Таблица основных неопределённых интегралов
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.
Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нём непрерывную первообразную.
См. также
- Первообразная
- Определённый интеграл
- Основная теорема анализа
- Знак интеграла
- Интегральное исчисление
- Численное интегрирование
- Методы интегрирования
- Список интегралов элементарных функций
- Таблица интегралов
Примечания
- ↑ Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Литература
- Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
- Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
- Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Онлайн Калькулятор Интегралов Архивная копия от 6 января 2010 на Wayback Machine
- Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке Архивная копия от 29 апреля 2014 на Wayback Machine
- Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии.