Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию ${\displaystyle x(t)}$, определенную на временно́й оси переменной ${\displaystyle t}$, в функцию

${\displaystyle \gamma (\tau ,s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi ^{*}\left({\frac {t-\tau }{s}}\right)dt}$

двух переменных ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle s}$. Здесь ${\displaystyle \tau }$ представляет параллельный перенос, ${\displaystyle s}$ представляет масштаб и ${\displaystyle \psi (t)}$ — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{C_{\psi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\gamma (\tau ,s){\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi \left({\frac {t-\tau }{s}}\right)d\tau {\frac {ds}{s^{2}}}}$

где

${\displaystyle C_{\psi }=2\pi \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|\Psi (\zeta )\right|^{2}}{\left|\zeta \right|}}d\zeta }$

называется постоянной допустимости и ${\displaystyle \Psi }$ — преобразование Фурье от ${\displaystyle \psi }$. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

${\displaystyle C_{\psi }<+\infty }$.

Критерий допустимости подразумевает, что ${\displaystyle \Psi (0)=0}$, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

${\displaystyle \psi _{s,\tau }(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}\psi \left({\frac {t-\tau }{s}}\right)}$.

Одним из применений вейвлет-преобразования является сжатие изображений.

• John Sadowsky. Investigation of Signal Characteristics Using the Continuous Wavelet Transform. — P. 259–260

• Дискретное вейвлет-преобразование