Непрерывное отношение предпочтения

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору ${\displaystyle y}$ набор ${\displaystyle x}$, то он также предпочтёт наборам, близким к ${\displaystyle y}$, наборы, близкие к ${\displaystyle x}$.

Непрерывность отношения предпочтения обеспечивает также другие «желательные» свойства предпочтений. В частности для непрерывных неоклассических предпочтений существует непрерывная функция полезности, их представляющая. Если непрерывное отношение предпочтения, являющееся также и монотонным, то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров — это кривые безразличия).

Непрерывность можно определить несколькими эквивалентными способами.

• Отношение предпочтения ${\displaystyle \succeq }$ называется непрерывным, если для произвольного набора ${\displaystyle y\in X}$ множества ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \}}}$ и ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \}}}$ являются замкнутыми. Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над ${\displaystyle y}$ (то есть не хуже ${\displaystyle y}$), во втором множестве все наборы такие, что ${\displaystyle y}$ слабо преобладает над ними (то есть они не лучше ${\displaystyle y}$).

• Отношение предпочтения ${\displaystyle \succeq }$ называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей наборов ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$, таких что ${\displaystyle x_{n}\succeq y_{n}}$ выполнено также и ${\displaystyle x\succeq y}$, где x и y — пределы этих последовательностей.

Для неоклассических предпочтений непрерывность нестрогого предпочтения может быть определена одним из следующих эквивалентных свойств строгого предпочтения ${\displaystyle \succ }$:

• Множество ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succ y{\big \}}}$ наборов, лучших ${\displaystyle y}$, и множество ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succ z{\big \}}}$ наборов, худших ${\displaystyle y}$, должны быть открытыми

• Если ${\displaystyle x\succ y}$, то существуют окрестности ${\displaystyle V_{x}}$ и ${\displaystyle V_{y}}$, такие, что для любых ${\displaystyle a\in V_{x}}$ и ${\displaystyle b\in V_{y}}$ выполнено ${\displaystyle a\succ b}$

Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем ${\displaystyle y}$ наборов, должно быть ещё множество наборов, которые являются безразличными по отношению ${\displaystyle y}$ и разделяют первые два множества. Таким образом, из непрерывности следует, что перемещаясь от худшего произвольно выбранного набора ${\displaystyle y}$ до лучшего ${\displaystyle y}$, по дороге всегда наткнёмся на набор, безразличный по отношению к ${\displaystyle y}$.

Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения.

• Отношение предпочтения
• Монотонное отношение предпочтения
• Выпуклое отношение предпочтения

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
• Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.