Неприводимое представление

Неприводимое представление ${\displaystyle (\rho ,V)}$ алгебраической структуры ${\displaystyle A}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления ${\displaystyle (\rho |_{W},W),W\subset V}$, замкнутого по ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$.

Любое конечномерное унитарное представление^[англ.] на эрмитовом векторном пространстве ${\displaystyle V}$^[1] является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав модульную теорию представления^[англ.], в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем ${\displaystyle K}$ с произвольной характеристикой, а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел. Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль.

Пусть ${\displaystyle \rho }$ будет представлением, то есть гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ группы ${\displaystyle G}$, где ${\displaystyle V}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle F}$. Если мы выберем базис ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \rho }$ можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением. Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство ${\displaystyle V}$ без базиса.

Линейное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ называется ${\displaystyle G}$-инвариантом, если ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$ и всех ${\displaystyle w\in W}$. сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle G}$-инвариантное подпространство ${\displaystyle W\subset V}$ известно как подпредставление. Говорят, что представление ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ неприводимо, если оно имеет лишь тривиальные подпредставления (все представления могут образовать подпредставление с тривиальными ${\displaystyle G}$-инвариантными подпредставлениями, например, со всем векторным пространством ${\displaystyle V}$ и {0}). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство ${\displaystyle \rho }$, говорят, что представление приводимо.

Элементы группы могут быть представлены матрицами, хотя термин «представлена» имеет специфичное и точное значение в данном контексте. Представление группы — это отображение из элементов группы в полную линейную группу матриц. Пусть a, b, c... означают элементы группы G с групповым произведением, которое не отражается каким-либо символом, то есть ab является групповым произведением a и b, которое также является элементом группы G. Пусть представления обозначаются буквой D. Представление элемента a записывается как

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению представлений групп представление группового произведения переводится в умножение матриц представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e является нейтральным элементом группы (так, что ${\displaystyle ae=ea=a}$), то D(e) является единичной матрицей, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и то же самое для других элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D было гомоморфизмом групп.

Представление разложимо, если подобная матрица P может быть найдена для преобразования подобия^[2]:

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P}$,

которая диагонализирует любую матрицу в представлении в диагональные блоки — каждый из блоков является представлением группы независимо друг от друга. Говорят, что представления D(a) и D′(a) эквивалентны^[3]. Представление может быть разложено в прямую сумму k матриц:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}$,

так что D(a) является разложимой и обычно метки у матриц разложения пишутся в скобках, как D⁽ⁿ⁾(a) для n = 1, 2, ..., k, хотя некоторые авторы пишут числовые метки без скобок.

Размерность D(a) равна сумме размерностей блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)]}$

Если это невозможно, то есть ${\displaystyle k=1}$, то представление неразложимо^[2][4].

Все группы ${\displaystyle G}$ имеют одномерное неприводимое тривиальное представление. Более обще, любое одномерное представление является неприводимым ввиду отсутствия собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно описать с помощью результатов из теории характеров. В частности, все такие представления разложимы в прямую сумму неприводимых представлений и число неприводимых представлений группы ${\displaystyle G}$ равно числу классов сопряжённости ${\displaystyle G}$^[5].

• Неприводимые комплексные представления ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ в точности задаются отображениями ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$, где ${\displaystyle \gamma }$ является ${\displaystyle n}$-м корнем из единицы.
• Пусть ${\displaystyle V}$ будет ${\displaystyle n}$-мерным комплексным представлением ${\displaystyle S_{n}}$ с базисом ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$. Тогда ${\displaystyle V}$ разлагается как прямая сумма неприводимых представлений

${\displaystyle V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$

и ортогональное подпространство задаётся формулой:

${\displaystyle V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$

Первое неприводимое представление является одномерным и изоморфен тривиальному представлению ${\displaystyle S_{n}}$. Второе является ${\displaystyle n-1}$ мерным и известно как стандартное представление ${\displaystyle S_{n}}$^[5].

• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа. Регулярное представление^[англ.] группы ${\displaystyle G}$ является свободным комплексным векторным пространством с базисом ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ с групповым действием ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$, обозначаемым как ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ Все неприводимые представления ${\displaystyle G}$ появляются в разложении ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ как прямая сумма неприводимых представлений.

В квантовой механике и квантовой химии каждое множество вырожденных собственных состояний гамильтонова оператора составляет векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплет», который лучше всего изучается через сведение к неприводимым частям. Обозначения неприводимых представлений поэтому позволяет назначить метки состояниям и предсказать, как они расщепятся^[англ.] при возмущении или перейдут в другое состояние в V. Таким образом, в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью определяют метки уровням энергии системы, что позволяет определить правила отбора^[6].

Неприводимые представления D(K) и D(J), где J является генератором вращений, а K является генератором бустов, могут быть использованы для построения спинорного представления^[англ.] группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами^[англ.] квантовой механики. Это позволяет использовать их для вывода релятивистских волновых уравнений^{[англ.][7]}.

• Простой модуль
• Неразложимый модуль
• Представление ассоциативной алгебры^[англ.]

• Представление алгебры Ли
• Теория представления группы SU(2)^[англ.]
• Теория представления группы SL2(R)^[англ.]
• Теория представления группы Галилея^[англ.]
• Теория представления диффеоморфизмов групп^[англ.]
• Теория представления группы Пуанкаре^[англ.]
• Теорема о старшем весе^[англ.]

• Artin, Michael Noncommutative Rings  (неопр.) (1999). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 24 февраля 2021 года.

• Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography  (неопр.). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 4 августа 2016 года.
• van Beveren, Eef Some notes on group theory  (неопр.) (2012). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из оригинала 20 мая 2011 года.
• Teleman, Constantin Representation Theory  (неопр.) (2005). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 21 сентября 2019 года.
• Finley Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)  (неопр.). (недоступная ссылка)
• Hunt Irreducible Representation (IR) Symmetry Labels  (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 15 февраля 2020 года.
• Dermisek, Radovan Representations of Lorentz Group  (неопр.) (2008). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано из оригинала 23 ноября 2018 года.
• Maciejko, Joseph Representations of Lorentz and Poincaré groups  (неопр.) (2007). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 25 октября 2017 года.
• Woit, Peter Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group  (неопр.) (2015). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 30 марта 2019 года., см. главу 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma Representations of the Symmetry Group of Spacetime  (неопр.) (2009). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 29 августа 2017 года.
• Finley Lie Algebra for the Poincaré, and Lorentz, Groups  (неопр.). Архивировано из оригинала 17 июня 2012 года.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "The unitary representations of the Poincaré group in any spacetime dimension". arXiv:hep-th/0611263.
• McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms  (неопр.). Дата обращения: 20 марта 2019. Архивировано 3 марта 2016 года.