Неприводимый многочлен

Неприводимый многочлен — нетривиальный (то есть не константа) многочлен, неразложимый в произведение нетривиальных многочленов. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Нетривиальные многочлены, отличные от неприводимых, называются приводимыми.

Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).

Многочлен ${\displaystyle p(x_{1},x_{2},..,x_{n})}$ от ${\displaystyle n}$ переменных над полем ${\displaystyle k}$ называется неприводимым над полем ${\displaystyle k}$, если он является простым элементом кольца ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]}$, то есть не является константой и не представим в виде произведения ${\displaystyle p=qr}$, где ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$ ― многочлены с коэффициентами из ${\displaystyle k}$, отличные от констант.

Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

${\displaystyle p(x_{1},x_{2},..,x_{n-1})+x_{n}}$

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена, рассматриваемого для возможности говорить о корнях над расширением базового кольца, называются сопряжёнными. Например, сопряжёнными являются комплексные корни многочлена, неприводимого над полем действительных чисел.

• Кольцо многочленов ${\displaystyle k[x_{1},x_{2}..,x_{n}]}$ факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень ${\displaystyle z}$, а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент ${\displaystyle {\overline {z}}\neq z}$; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен ${\displaystyle (x-z)(x-{\overline {z}})}$, что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен ${\displaystyle x^{n}+px+p}$, где ${\displaystyle n>1}$ и ${\displaystyle p}$ ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
• Если ${\displaystyle k=F_{q}}$ — конечное поле из ${\displaystyle q}$ элементов, а ${\displaystyle n}$ — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из ${\displaystyle k[x]}$.
• Предположим, что ${\displaystyle A}$ ― целозамкнутое кольцо с полем частных ${\displaystyle k}$ (например ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$) и ${\displaystyle p\in A[x]}$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда ${\displaystyle p=qr}$ в ${\displaystyle k[x]}$, причём ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$ имеют старший коэффициент 1, то ${\displaystyle q,r\in A[x]}$.
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности ${\displaystyle \sigma :A\to B}$. Если степень многочлена ${\displaystyle \sigma (p)}$ совпадает со степенью многочлена ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle \sigma (p)}$ неприводим над полем частных области ${\displaystyle B}$, то не существует разложения ${\displaystyle p=qr}$, где ${\displaystyle p,r\in A[x]}$ и отличны от константы.
  • Например, многочлен ${\displaystyle p}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle 1}$ прост в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ (и, следовательно, неприводим в ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$), если прост многочлен ${\displaystyle \sigma (p)}$, полученный из ${\displaystyle p}$ редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}}$, где ${\displaystyle i^{2}}$ ${\displaystyle ={-1}}$.

Над кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.

Над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но ${\displaystyle p_{5}(x)}$ является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена ${\displaystyle x^{4}+1}$ в поле действительных чисел имеет вид ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)}$. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен ${\displaystyle p(x)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ может быть разложен на множители вида:

${\displaystyle p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})}$,

где ${\displaystyle \ n}$ — степень многочлена, ${\displaystyle \ a}$ — старший коэффициент, ${\displaystyle \ z_{1},\ldots ,z_{n}}$ — корни ${\displaystyle \ p(x)}$. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ является неприводимым над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, но над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ из двух элементов мы имеем:

${\displaystyle (x^{2}+1)=(x+1)^{2}.}$

• Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.