Неравенство Берри — Эссеена

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Пусть дана бесконечная последовательность ${\displaystyle X_{n}}$ независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что ${\displaystyle M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty }$. Обозначим через ${\displaystyle F_{n}}$ распределение суммы вида ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)}$. Тогда для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ обозначает стандартное нормальное распределение, а ${\displaystyle C}$ — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, ${\displaystyle C<0.4784}$.^[1]

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть ${\displaystyle X_{k}}$ — это независимые случайные величины, ${\displaystyle M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)=\rho _{k}}$. Введём обозначения: ${\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}}$. Обозначим через ${\displaystyle F_{n}}$ распределение случайной величины вида ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n}}$. Тогда для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}}$.

• В. Феллер. «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.