Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство

между числами Чжэня[англ.] компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу[1][2] и Миаоки[3], после того как Ван де Вен[4] и Фёдор Богомолов[5]доказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.

Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг[6] и Истон[7] привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как обобщённая поверхность Рейно[англ.], для которых неравенство не выполняется.

Формулировка неравенства

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа[англ.], и пусть и — первый и второй класс Чжэня[англ.] комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби[англ.].

Поскольку является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха[англ.], где является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

и более того, если , универсальное покрытие является шаром.

Вместе с неравенством Нётера[англ.] неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей[англ.]. См. статью Поверхности общего типа[англ.].

Поверхности с c12 = 3c2

Пусть X — поверхность общего типа с , так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу[1] доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель[8] показал, что существует бесконечно много значений , для которых поверхности существуют. Мамфорд[9] нашёл ложную проективная плоскость с , которая имеет минимальное возможное значение, поскольку всегда делится на 12, а Прасад и Йен[10][11], а также Картрайт и Стегер[12] показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер[13] дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с . Исида[14] нашёл фактор такой поверхности с и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с для любого положительного k. Картрайт и Стегер [12] нашли примеры с для любого положительного целого n.

Примечания

Литература

  • Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes // Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348, вып. 1. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
  • Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes // Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348, вып. 1. — С. 11–13. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
  • Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
  • Gottfried Barthel, Friedrich Hirzebruch, Thomas Höfer. Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen. — Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1987. — (Aspects of Mathematics, D4). — ISBN 978-3-528-08907-8.
  • Fedor A. Bogomolov. Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. — 1978. — Т. 42, вып. 6. — С. 1227–1287. — ISSN 0373-2436.
  • Armand Borel. Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces // Topology. an International Journal of Mathematics. — 1963. — Т. 2, вып. 1-2. — С. 111–122. — ISSN 0040-9383. — doi:10.1016/0040-9383(63)90026-0.
  • Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeration of the 50 fake projective planes. — Comptes Rendus Mathematique. — Elsevier Masson SAS, 2010. — Т. 348. — С. 11–13. — doi:10.1016/j.crma.2009.11.016.
  • Robert W. Easton. Surfaces violating Bogomolov-Miyaoka-Yau in positive characteristic // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2008. — Т. 136, вып. 7. — С. 2271–2278. — ISSN 0002-9939. — doi:10.1090/S0002-9939-08-09466-5.
  • Masa-Nori Ishida. An elliptic surface covered by Mumford's fake projective plane // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1988. — Т. 40, вып. 3. — С. 367–396. — ISSN 0040-8735. — doi:10.2748/tmj/1178227980.
  • William E. Lang. Arithmetic and geometry, Vol. II. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983. — Т. 36. — С. 167–173. — (Progr. Math.).
  • Yoichi Miyaoka. On the Chern numbers of surfaces of general type // Inventiones Mathematicae. — 1977. — Т. 42, вып. 1. — С. 225–237. — ISSN 0020-9910. — doi:10.1007/BF01389789.
  • David Mumford. An algebraic surface with K ample, (K2)=9, pg=q=0 // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1979. — Т. 101, вып. 1. — С. 233–244. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2373947. — JSTOR 2373947.
  • Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Fake projective planes // Inventiones Mathematicae. — 2007. — Т. 168, вып. 2. — С. 321–370. — doi:10.1007/s00222-007-0034-5. — arXiv:math/0512115.
  • Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Addendum to "Fake projective planes" // Inventiones Mathematicae. — 2010. — Т. 182, вып. 1. — С. 213–227. — doi:10.1007/s00222-010-0259-6.
  • Antonius Van de Ven. On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — National Academy of Sciences, 1966. — Т. 55, вып. 6. — С. 1624–1627. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.55.6.1624. — JSTOR 57245.
  • Shing Tung Yau. Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — National Academy of Sciences, 1977. — Т. 74, вып. 5. — С. 1798–1799. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.74.5.1798. — JSTOR 67110.
  • Shing Tung Yau. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1978. — Т. 31, вып. 3. — С. 339–411. — ISSN 0010-3640. — doi:10.1002/cpa.3160310304.