Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств .
Формулировка
Пусть — пространство с мерой, а — пространство функций вида с конечной интегрируемой ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:
- ,
где , обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть , а , где . Тогда , и
- .
Доказательство
Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть — пространство с мерой , , измеримо. Тогда:
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
Положим
Применяя неравенство, получаем:
Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по , получаем:
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если или равен 0, то это значит, что или эквивалентны нулю на , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.
Частные случаи
Неравенство Коши — Буняковского
Положив , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства .
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:
- ,
и тогда
- .
Пространство lp
Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что:
- ,
называется . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:
- .
Вероятностное пространство
Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:
- .
См. также
Литература
- Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
- Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.