Неравенство Пидо

Неравенство Пидо (также неравенство Пидо — Нойберга) — неравенство в геометрии, названное в честь Даниеля Пидо^[англ.] (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$, ${\displaystyle c'}$ — длины сторон треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A'B'C'}$, a ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ — их площади, тогда

${\displaystyle a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'}^{2})\geq 16SS',}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны с парами соответствующих сторон ${\displaystyle (a,a')}$, ${\displaystyle (b,b')}$ и ${\displaystyle (c,c')}$.

Выражение слева не только симметрично для перестановок пар ${\displaystyle (a,a')}$, ${\displaystyle (b,b')}$ и ${\displaystyle (c,c')}$, но и (что, возможно, не так очевидно) остаётся неизменным, если поменять местами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b'}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c'}$. Другими словами, выражение слева является симметрической функцией от пары треугольников.

Частным случаем неравенства Пидо, в котором один из треугольников равносторонний, является неравенство Вайценбока^[англ.].

Пидо обнаружил это неравенство в 1941 году и опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было уже известно Нойбергу в XIX веке, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.

• Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (Dec., 1941), pp. 310—311 (JSTOR Архивная копия от 18 августа 2016 на Wayback Machine)
• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
• Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, p. 108 Архивная копия от 18 августа 2016 на Wayback Machine
• D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · January 1988 (online copy Архивная копия от 7 августа 2016 на Wayback Machine)