Неравенство Плюннеке — Ружа

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Неравенства Плюннеке — Ружа — классическая лемма аддитивной комбинаторики. Описывает ограничения на многократные суммы множеств при известных ограничениях на аналогичные короткие суммы. Например, ограничения на при известных ограничениях на .

Доказательства неравенств Плюннеке — Ружа, как правило, не используют структуру общего множества, которому принадлежат и , а используют только общие аксиомы групповой операции, что делает их верными для произвольных групп (в частности, для множеств натуральных и вещественных чисел, а также остатков от деления на заданное число)

Названы в честь немецкого математика H. Plünnecke[1] и венгерского математика Имре Ружа[англ.].[2]

Формулировки

Ниже используются обозначения

Для одного множества

Пусть - абелева группа, . Тогда из следует

Для двух множеств

Для всяких существует такое, что если - группа, , то из следует


Обобщение на произвольное количество множеств

Пусть - абелева группа, , . Тогда Тогда существует непустое подмножество такое, что [2][6][7]

Основные следствия

Если , то

Если , то

Следовательно, если для величин и известен порядок роста при росте , то

Приложения

Неравенство Плюннеке-Ружа используется для доказательства теоремы сумм-произведений

Ссылки

Примечания

  1. H. Pl¨unnecke. Eine zahlentheoretische anwendung der graphtheorie. J. Reine Angew. Math., 243:171–183, 1970
  2. 1 2 I. Z. Ruzsa, “An application of graph theory to additive number theory”, Sci. Ser. A Math. Sci. (N. S.), 3 (1989), 97–109.
  3. Текстовое изложение лекции Харальда Хельфготта в СПбГУ (недоступная ссылка)
  4. Лекция Харальда Хельфготта в СПбГУ
  5. Boaz Barak, Luca Trevisan, Avi Wigderson, "Mini course of additive combinatorics". Дата обращения: 8 октября 2017. Архивировано из оригинала 6 февраля 2015 года.
  6. I. Z. Ruzsa, “Sums of finite sets”, Number theory (New York, 1991–1995), Springer, New York, 1996, 281–293.
  7. М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4(394), DOI: http://dx.doi.org/10.4213/rm9367