Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.

В этом неравенстве размерности матриц $A$ , $B$ и $C$ должны позволять существование матрицы $ABC$ (т. е. эти матрицы имеют размерности $i\times j$ , $j\times k$ и $k\times l$ соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если $U\subset V$ и $X:V\rightarrow W$ , то $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$ .

Запишем это неравенство для $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$ :

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Ясно также, что $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$ ^[1].

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

применим к матрице $M$ цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC\\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Тогда $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}\geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC$

Примечания

↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 73.

Литература

Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Похожие исследовательские статьи

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

\text{[math]}

Те́нзор — применяемый в математике и физике математический объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности. В физике в качестве векторного пространства обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты (проекции) взаимосвязанных физических величин. Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счёт сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчёта.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы $\text{[math]}$ с $\text{[math]}$ строками и $\text{[math]}$ столбцами называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

В квантовой механике задача о части́це в одноме́рном периоди́ческом потенциа́ле — идеализированная задача, которая может быть решена аналитически, без упрощений. При решении предполагается, что функция потенциала задана на всем бесконечном пространстве и периодична, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность кристалла.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами перемножаемых пространств.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $\text{[math]}$ , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором если $\text{[math]}$ . Такой оператор называют идемпотентным.

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой.

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными ниже.

Пермане́нт в математике — числовая функция, определённая на множестве всех матриц; для квадратных матриц похожа на детерминант, и отличается от него лишь в том, что в разложении на перестановки берутся не чередующиеся знаки, а все плюсы. В отличие от детерминанта, определение перманента расширено и на неквадратные матрицы.

Идемпотентная матрица — матрица, идемпотентная относительно умножения матриц, то есть, матрица $\text{[math]}$ , для которой выполняется условие $\text{[math]}$ .

Полуопределённое программирование — подраздел выпуклого программирования, которое занимается оптимизацией линейной целевой функции на пересечении конусов положительно полуопределённых матриц с аффинным пространством.

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается $\text{[math]}$ . Две матрицы p и q в $\text{[math]}$ имеют сумму $\text{[math]}$ , определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

\text{[math]}

Пространство столбцов матрицы $\text{[math]}$ — это линейная оболочка её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Алгоритм Чанки — это алгоритм, позволяющий решать задачу вычисления определителя матрицы в классе NC. Идея алгоритма состоит в том, чтобы свести исходную задачу к решению системы $\text{[math]}$ относительно вектора $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижнетреугольная матрица, которую можно обратить за время $\text{[math]}$ с использованием $\text{[math]}$ процессоров.

Обобщённый собственный вектор $\text{[math]}$ матрицы $\text{[math]}$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов.

Ядро линейного отображения — это такое линейное подпространство области определения отображения, каждый элемент которого отображается в нулевой вектор. А именно: если задано линейное отображение $\text{[math]}$ между двумя векторными пространствами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то ядро отображения $\text{[math]}$ — это векторное пространство всех элементов $\text{[math]}$ пространства $\text{[math]}$ , таких что $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ обозначает нулевой вектор из $\text{[math]}$ , или более формально:

\text{[math]}

Матричный логарифм — матрица, для которой матричная экспонента равна исходной матрице — обобщение логарифма и в некотором смысле обратная функция матричной экспоненты. Не все матрицы имеют логарифм, но те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, так как если матрица имеет логарифм, то она является элементом группы Ли, а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.