Неравенство треугольника Ружа

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть группа и .

Тогда , где .

Неравенство треугольника со сложением

Имеется ещё одно неравенство[1], аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенства Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.

Доказательство

Рассмотрим функцию , определяемую как . Тогда для каждого образа существует не менее различных прообразов вида . Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем . Значит,

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию[2][3], определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство , но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

Следствия

Подставив , получим

Подставив , получим

Подставив , получим

.

См. также

Примечания