Неравенство четырёхугольника
Неравенство четырёхугольника — неравенство, выполняющееся для любых четырёх точек метрического пространства, в котором справедливо неравенство треугольника. Его геометрический смысл заключается в том, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон[1].
Формулировка
Обозначим расстояние между точками метрического пространства и . Тогда для любых четырёх точек метрического пространства имеет место следующее неравенство: .
Доказательство
Рассмотрим неравенства, следующие из неравенства треугольника:
Вычтем из обеих частей первого неравенства и из обеих частей второго неравенства .
Второе неравенство треугольника
При неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника:
Неравенства четырёхугольника в планиметрии
- Неравенство четырёхугольника — модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон: .
- Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть: ; ; ; .
Примечания
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29