Нетотиентное число

В теории чисел под нетотиентным числом понимается положительное целое число n, не являющееся значением функции Эйлера, то есть не входящее в область значений функции Эйлера φ. Таким образом, для нетотиентного числа уравнение φ(x) = n не имеет решений. Другими словами, n – нетотиентное число, если не существует целого числа x, имеющего ровно n взаимно простых чисел меньших его. Все нечетные числа нетотиенты за исключением 1, поскольку функция Эйлера принимает только чётные значения. Первые пятьдесят чётных нетотиентых чисел:

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, 302 последовательность A005277 в OEIS

Чётное нетотиентное число может быть на единицу больше простого числа, но никогда на единицу меньше, поскольку все числа меньшие простого, по определению, взаимно просты с ним. Выразим это формально: для простого p функция Эйлера φ(p) = p − 1. Также прямоугольное число p(p − 1) определённо не является нетотиентным в случае простого p, поскольку φ(p²) = p(p − 1).

Существует бесконечно много нетотиентных чисел, так как существует бесконечно много простых p, таких что все числа вида 2^ap нетотиентны.

Ссылки

Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory. — New York, NY: Springer-Verlag, 2004. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7.
L. Havelock, A Few Observations on Totient and Cototient Valence from PlanetMath
Jozsef Sándor, Borislav Crstici. Handbook of number theory II. — Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. — С. 230. — ISBN 1-4020-2546-7.
Mingzhi Zhang. On nontotients // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43, вып. 2. — С. 168-172. — ISSN 0022-314X.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Характер, это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных характеров на обратимых элементах $\text{[math]}$ . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\text{[math]}$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Функция Эйлера</span> мультипликативная арифметическая функция

Фу́нкция Э́йлера $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных $\text{[math]}$ и взаимно простых с ним.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

<span class="mw-page-title-main">Взаимно простые числа</span> числа, не имеющие общего делителя

Взаимно простые числа — целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме ±1. Равносильное определение: целые числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Га́уссовы це́лые чи́сла — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел $\text{[math]}$ и принимающая значения из множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.

<span class="mw-page-title-main">Функция делителей</span> теоретико-числовая функция

Фу́нкция дели́телей — арифметическая функция, связанная с делителями целого числа. Функция известна также под именем фу́нкция диви́зоров. Применяется, в частности, при исследовании связи дзета-функции Римана и рядов Эйзенштейна для модулярных форм. Изучалась Рамануджаном, который вывел ряд важных равенств в модульной арифметике и арифметических тождествах.

Гипотеза Эллиота — Халберстама $\text{[math]}$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота и Хайни Халберстама.

Число Джуги — составное число $\text{[math]}$ , такое, что для любого его простого делителя $\text{[math]}$ выполнено $\text{[math]}$ , или, что эквивалентно, такое, что для любого его простого делителя $\text{[math]}$ имеет место $\text{[math]}$ .

Функция Кармайкла — теоретико-числовая функция, обозначаемая $\text{[math]}$ , равная наименьшему показателю $\text{[math]}$ такому, что

\text{[math]}

Высококототиентное число — это положительное целое число k, большее единицы и имеющее больше решений для уравнения

x − φ(x) = k,

Высокототиентное число — это целое число k, имеющее больше решений уравнения

x − φ(x) = k,

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Гипотеза Римана является одной из наиболее важных гипотез в математике. Гипотеза является утверждением о нулях дзета-функции Римана. Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны так называемыми глобальными L-функциями, которые формально похожи на дзета-функцию Римана. Можно тогда задать тот же вопрос о корнях этих L-функций, что даёт различные обобщения гипотезы Римана. Многие математики верят в верность этих обобщений гипотезы Римана. Единственный случай, когда такая гипотеза была доказана, произошёл в алгебраическом поле функций.

Задача Лемера о функции Эйлера задаёт вопрос, существует ли какое-либо составное число n, такое, что функция Эйлера φ(n) делит n − 1. Задача остаётся нерешённой.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.