Нетранзитивность

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Нетранзитивность в математике — обозначение ряда похожих свойств бинарных отношений.

Отсутствие транзитивности

Отношение называется транзитивным, если для любых троек А, В и С, таких, что пары (А,В) и (В,С) удовлетворяют ему, то и пара (А,С) также ему удовлетворяет. Ряд авторов называют нетранзитивными отношения, не удовлетворяющие этому свойству, то есть отношения R, такие, что

Например, отношение «есть» в пищевой цепи является нетранзитивным в этом смысле: волки едят оленей, олени едят траву, но волки не едят траву.

Антитранзитивность

Часто термин нетранзитивность используется для обозначения более «сильного» свойства — антитранзитивности отношения[1]. Отношение R называется антитранзитивным, если транзитивность отсутствует для любых троек элементов:

Например, упомянутое выше отношение «есть» не является антитранзитивным: люди едят кроликов, кролики едят морковь, но люди тоже едят морковь.

Антитранзитивное отношение — отношение победить в турнирах «на вылет»: если A победил игрока B, а B победил игрока C, то A не играл с C, следовательно, не мог его победить.

Циклы в бинарных отношениях

На практике термин нетранзитивность чаще всего употребляется при описании ситуаций, когда отношения описывают предпочтения на парах альтернатив, сравнение которых приводит к наличию циклов: A предпочтительнее B, B предпочтительнее C, а C предпочтительнее A.

Наиболее известным примером наличия циклов является детская игра «Камень, ножницы, бумага». Другие примеры — нетранзитивные кости (кубики Эфрона[2]), «Игра Пенни».

Если отношение предпочтения антирефлексивно, наличие циклов в предпочтениях приводит к нарушению транзитивности. Это свойство не эквивалентно указанным выше отсутствию транзитивности и антитранзитивности отношения.

Возникновение нетранзитивности предпочтений

  • Нетранзитивность общественных предпочтений может возникать при голосовании по правилу большинства, а также по правилу Кондорсе (см. парадокс Кондорсе)[3][4].
  • В психологии нетранзитивность предпочтений возникает, если индивидуум руководствуется несколькими несогласованными системами ценностей.
  • Аналогичным образом, нетранзитивность может возникать в потребительских предпочтениях, что приводит к отклонению поведения потребителя от экономически рационального.

См. также

Примечания

  1. Guide to Logic, Relations II Архивная копия от 16 сентября 2008 на Wayback Machine  (недоступная ссылка с 13-05-2013 [4191 день] — история)
  2. Математическое просвещение Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. Третья серия, выпуск 14. М. Издательство МЦНМО, 2010. С. 240–255.
  3. Александр ПоддьяковПравило транзитивности против нетранзитивности выбора Архивная копия от 22 мая 2018 на Wayback Machine // Наука и жизнь. — 2017. — № 3. — С. 130 - 137
  4. Александр Поддьяков Нетранзитивность превосходства: продолжение темы Архивная копия от 18 апреля 2020 на Wayback Machine // Наука и жизнь. — 2017. — № 7. — С. 112 - 116

Литература

  • Anand P. Foundations of Rational Choice Under Risk, Oxford, Oxford University Press. — 1993.