Нильпотентный идеал
Нильпотентный идеал — идеал кольца , для которого существует натуральное число , такое, что [1] ( — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из элементов идеала , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число , такое, что произведение любых элементов идеала равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец[англ.].
В кольце вычетов по модулю , где — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.
Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).
В конечномерной алгебре Ли существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов , для которых эндоморфизм для нильпотентен.
Связь с ниль-идеалами
Всякий нильпотентный идеал является ниль-идеалом[англ.], обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементов[1].
В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентным[2]. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема Левицкого[3].
Примечания
- ↑ 1 2 Isaacs, 1993, с. 194.
- ↑ Isaacs, 1993, с. 195 Corollary 14.3.
- ↑ Herstein, 1968, с. 37 Theorem 1.4.5.
Литература
- I. N. Herstein. Noncommutative rings. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X.
- Херстейн И. Некоммутативные кольца / Перевод Е.Н. Кузьмина. — М.: «Мир», 1972.
- I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2.
- Ленг С. Алгебра. — М., 1968.
- Джекобсон Н. Строение колец. — М., 1961.
- Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. — М., 1977. — Т. 1.
- Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.