Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений^[1][2][3].

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle F(x,y,p)=0,\ }$ где ${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}.}$

Функция ${\displaystyle F}$ предполагается вещественной, гладкой класса ${\displaystyle C^{\infty }}$ (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами ${\displaystyle (x,y,p)}$, лежащие на поверхности, задаваемой уравнением ${\displaystyle F=0}$, в которых производная ${\displaystyle F_{p}}$ обращается в нуль, т. е. проектирование ${\displaystyle \pi }$ поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ на плоскость переменных ${\displaystyle x,y}$ вдоль направления оси ${\displaystyle p}$ нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость ${\displaystyle (x,y)}$ называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании ${\displaystyle \pi }$ различным точками поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$ может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных ${\displaystyle (x,y)}$^[1][4][5].

Дифференциальное соотношение ${\displaystyle p=dy/dx}$ задает в пространстве ${\displaystyle (x,y,p)}$ поле контактных плоскостей ${\displaystyle pdx-dy=0}$. Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности ${\displaystyle \{F=0\}}$, задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость ${\displaystyle (x,y)}$ — графиками решений^[4][5]

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность^[3].

Простейшими особыми точками уравнения ${\displaystyle F(x,y,p)=0}$ являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование ${\displaystyle \pi }$ имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности ${\displaystyle F=0.}$ Это равносильно выполнению в данной точке условий:

${\displaystyle F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.}$

В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа^[2].

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми

${\displaystyle u_{xx}-xu_{yy}=0}$,

относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости ${\displaystyle x<0}$ и к гиперболическому — в полуплоскости ${\displaystyle x>0}$.

Уравнение ${\displaystyle p^{2}-x=0}$ легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол^[4][5]

${\displaystyle y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}}$

заполняющих полуплоскость ${\displaystyle x>0}$, точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси ${\displaystyle y}$.

Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах^[6].

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.