Нормальный алгоритм

Норма́льный алгори́тм (алгори́фм) Ма́ркова (НАМ, также марковский алгоритм) — один из стандартных способов формального определения понятия алгоритма (другой известный способ — машина Тьюринга). Понятие нормального алгоритма введено А. А. Марковым (младшим) в конце 1940-х годов в работах по неразрешимости некоторых проблем теории ассоциативных вычислений. Традиционное написание и произношение слова «алгорифм» в этом термине также восходит к его автору, многие годы читавшему курс математической логики на механико-математическом факультете МГУ.

Нормальный алгоритм описывает метод переписывания строк, похожий по способу задания на формальные грамматики. НАМ — полный по Тьюрингу язык, что делает его по выразительной силе эквивалентным машине Тьюринга и, следовательно, современным языкам программирования. На основе НАМ был создан функциональный язык программирования Рефал.

Нормальные алгоритмы вербальны, то есть предназначены для применения к словам в различных алфавитах.

Определение всякого нормального алгоритма состоит из двух частей: определения алфавита алгоритма (к словам, из символов которого алгоритм будет применяться) и определения его схемы. Схемой нормального алгоритма называется конечный упорядоченный набор так называемых формул подстановки, каждая из которых может быть простой или заключительной. Простыми формулами подстановки называются слова вида ${\displaystyle L\to D}$, где ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle D}$ — два произвольных слова в алфавите алгоритма (называемые, соответственно, левой и правой частями формулы подстановки). Аналогично, заключительными формулами подстановки называются слова вида ${\displaystyle L\to \cdot D}$, где ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle D}$ — два произвольных слова в алфавите алгоритма. При этом предполагается, что вспомогательные буквы ${\displaystyle \to }$ и ${\displaystyle \to \cdot }$ не принадлежат алфавиту алгоритма (в противном случае на исполняемую ими роль разделителя левой и правой частей следует избрать другие две буквы).

Примером схемы нормального алгоритма в пятибуквенном алфавите ${\displaystyle |*abc}$ может служить схема

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}|b&\to &ba|\\ab&\to &ba\\b&\to &\\{*}|&\to &b*&\\{*}&\to &c&\\|c&\to &c\\ac&\to &c|\\c&\to \cdot \end{matrix}}\right.}$

Процесс применения нормального алгоритма к произвольному слову ${\displaystyle V}$ в алфавите этого алгоритма представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, состоящих в следующем. Пусть ${\displaystyle V'}$ — слово, полученное на предыдущем шаге работы алгоритма (или исходное слово ${\displaystyle V}$, если текущий шаг — первый). Если среди формул подстановки нет такой, левая часть которой входила бы в ${\displaystyle V'}$, то работа алгоритма считается завершённой, и результатом этой работы считается слово ${\displaystyle V'}$. Иначе среди формул подстановки, левая часть которых входит в ${\displaystyle V'}$, выбирается самая первая. Если эта формула подстановки имеет вид ${\displaystyle L\to \cdot D}$, то из всех возможных представлений слова ${\displaystyle V'}$ в виде ${\displaystyle RLS}$ выбирается такое, при котором ${\displaystyle R}$ — самое короткое, после чего работа алгоритма считается завершённой с результатом ${\displaystyle RDS}$. Если же эта формула подстановки имеет вид ${\displaystyle L\to D}$, то из всех возможных представлений слова ${\displaystyle V'}$ в виде ${\displaystyle RLS}$ выбирается такое, при котором ${\displaystyle R}$ — самое короткое, после чего слово ${\displaystyle RDS}$ считается результатом текущего шага, подлежащим дальнейшей переработке на следующем шаге.

Например, в ходе процесса применения алгоритма с указанной выше схемой к слову ${\displaystyle |*||}$ последовательно возникают слова ${\displaystyle |b*|}$, ${\displaystyle ba|*|}$, ${\displaystyle a|*|}$, ${\displaystyle a|b*}$, ${\displaystyle aba|*}$, ${\displaystyle baa|*}$, ${\displaystyle aa|*}$, ${\displaystyle aa|c}$, ${\displaystyle aac}$, ${\displaystyle ac|}$ и ${\displaystyle c||}$, после чего алгоритм завершает работу с результатом ${\displaystyle ||}$. Другие примеры смотрите ниже.

Любой нормальный алгоритм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот — любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгоритму. Вариант тезиса Чёрча — Тьюринга, сформулированный применительно к нормальным алгоритмам, принято называть «принципом нормализации».

Нормальные алгоритмы оказались удобным средством для построения многих разделов конструктивной математики. Кроме того, заложенные в определении нормального алгоритма идеи используются в ряде ориентированных на обработку символьной информации языков программирования — например, в языке Рефал.

Использование алгоритма Маркова для преобразований над строками.

Алфавит:

{ а…я, А…Я, «пробел», «точка» }

Правила:

1. А → апельсин
2. кг → килограмм
3. М → магазинчике
4. Т → том
5. магазинчике →. ларьке (заключительная формула)
6. в том ларьке → на том рынке

Исходная строка:

Я купил кг Аов в Т М.

При выполнении алгоритма строка претерпевает следующие изменения:

1. Я купил кг апельсинов в Т М.
2. Я купил килограмм апельсинов в Т М.
3. Я купил килограмм апельсинов в Т магазинчике.
4. Я купил килограмм апельсинов в том магазинчике.
5. Я купил килограмм апельсинов в том ларьке.

На этом выполнение алгоритма завершится (так как будет достигнута формула № 5, которую мы сделали заключительной).

Данный алгоритм преобразует двоичные числа в «единичные» (в которых записью целого неотрицательного числа N является строка из N палочек). Например, двоичное число 101 преобразуется в 5 палочек: |||||.

Алфавит:

{ 0, 1, | }

Правила:

1. 1 → 0|
2. |0 → 0||
3. 0 → "" (пустая строка)

Исходная строка:

101

Выполнение:

1. 0|01
2. 0|00|
3. 00||0|
4. 00|0|||
5. 000|||||
6. 00|||||
7. 0|||||
8. |||||

• Машина Тьюринга (автоматное программирование)
• Машина Поста (автоматное программирование)
• Рекурсивная функция (теория вычислимости)
• Лямбда-исчисление (функциональное программирование)
• Brainfuck (императивное программирование)

• РЕФАЛ
• Thue

• Операторный алгоритм

• Yad Studio — IDE и интерпретатор для Нормальных Алгоритмов Маркова (Open Source)
• Javascript-эмулятор нормальных алгорифмов Маркова (работает on-line)