Нормальный оператор
Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: и унитарные операторы: . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.
Разложения
- Аддитивное разложение. , где — перестановочные самосопряжённые операторы,
- Мультипликативное (полярное) разложение. , где — положительный самосопряжённый оператор, — унитарный оператор. Операторы и перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с и .
Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа через его действительную и мнимую части: , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: [1]
Свойства
- Если оператор нормален, то операторы , , а также обратный оператор (если он существует), тоже нормальны.[2]
- Линейный непрерывный оператор в гильбертовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда для каждого .
- . Здесь — ядро, — образ оператора .
- Если при некотором и , то .
- Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны[3].
- Теорема о перестановочности. Пусть — линейные непрерывные операторы, причем операторы и нормальны. Если , то . В частности, если оператор перестановочен с нормальным оператором , то он перестановочен и с сопряжённым .[4]
- [5]
- Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.[6]
- Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если , где — нормальные операторы, а оператор обратим, то , где — унитарный оператор.[7]
- , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.[2]
Спектральная теорема
Любому нормальному оператору соответствует семейство проекционных операторов , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что и вообще где — произвольный многочлен от и ; при любом фиксированном прямоугольнике оператор является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов и [8]. |
На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций
Случай конечномерного пространства
В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.
- Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
- Для нормального оператора каждый из операторов и представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора .
- Если — инвариантное подпространство относительно оператора , то его ортогональное дополнение тоже является инвариантным подпространством для .
- Матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть где — унитарная матрица, — диагональная матрица.[10]
Неограниченные операторы
Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве называется нормальным, если его область определения плотна в , он замкнут и удовлетворяет условию . Для нормального оператора , для любого . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.[11]
См. также
- Самосопряжённый оператор
- Унитарный оператор
- Спектральная теорема
Примечания
- ↑ Рисс, Сёкефальви-Надь, 1979, п. 110.
- ↑ 1 2 Соболев, 1982.
- ↑ Рудин, 1975, п.12.12.
- ↑ Рудин, 1975, п.12.16.
- ↑ Рудин, 1975, п.12.25.
- ↑ Рудин, 1975, п.12.26.
- ↑ Рудин, 1975, п.12.36.
- ↑ Рисс, Сёкефальви-Надь, 1979, с. 309.
- ↑ Рудин, 1975, п. 12.24.
- ↑ Гантмахер, 1966, глава 9, § 10.
- ↑ Рудин, 1975, глава 13.
Литература
- Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
- Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.