Нормирование (алгебра)

Норми́рование — отображение элементов поля ${\displaystyle F}$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}$, обладающее следующими свойствами:

1) ${\displaystyle \|x\|\geqslant 0}$ и ${\displaystyle \|x\|=0}$ только при ${\displaystyle x=0}$

2) ${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|}$

3) ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)}$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение ${\displaystyle \|x\|}$ называется нормой элемента ${\displaystyle x}$. Если упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ является полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ и ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ называются эквивалентными, если ${\displaystyle \|x\|_{1}<1}$ равносильно ${\displaystyle \|x\|_{2}<1}$.

• Нормирование, при котором ${\displaystyle \|0\|=0}$, ${\displaystyle \|x\|=1}$ для остальных ${\displaystyle x}$. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и модуль в поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются нормированием.
• Пусть ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — поле рациональных чисел, а ${\displaystyle p}$ — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не кратны ${\displaystyle p}$. Можно определить следующее нормирование ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского^[англ.], любая нетривиальная норма на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентна либо абсолютной величине ${\displaystyle |x|}$, либо р-адическому нормированию.

• ${\displaystyle |1|=|-\!1|=1}$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство ${\displaystyle {\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |x-y|}$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число ${\displaystyle A}$, такое, что для любой суммы единичных элементов поля ${\displaystyle F}$:

3b) ${\displaystyle \|1+1+...+1\|\leqslant A}$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из поля ${\displaystyle F}$ имеем:

${\displaystyle |(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{n-i}\,y^{i}+\ldots +y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}}$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при ${\displaystyle n\to \infty }$, получаем условие 3a).^[] Обратное утверждение очевидно.^[]

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля ${\displaystyle F}$ как норму разности ${\displaystyle \|x-y\|}$, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в ${\displaystyle F}$.

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле ${\displaystyle F}$ изоморфно вкладывается в полное нормированное поле ${\displaystyle F^{*}}$, то есть существует изоморфизм ${\displaystyle i:F\rightarrow F^{*}}$. Норма в ${\displaystyle F^{*}}$ продолжает норму в ${\displaystyle F}$, то есть для каждого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle \|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|}$, причём ${\displaystyle F}$ плотно в ${\displaystyle F^{*}}$ относительно этой нормы. Любое такое поле ${\displaystyle F^{*}}$ определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на ${\displaystyle F}$; оно называется пополнением поля ${\displaystyle F}$.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ с p-адической метрикой является поле p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Пусть ${\displaystyle v}$ — отображение из мультипликативной группы поля ${\displaystyle K^{*}}$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$

2) ${\displaystyle v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: ${\displaystyle v(0)=\infty }$. Групповая операция на ${\displaystyle \infty }$ определена следующим образом: ${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty }$ для любого ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \infty }$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд^[1] и Ленг.^[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения ${\displaystyle v}$ называют группой нормирования, а множество тех элементов ${\displaystyle x}$ поля ${\displaystyle K}$, для которых ${\displaystyle v(x)\geqslant 0}$ — кольцом нормирования (обозначение — ${\displaystyle R_{v}}$), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.