Нотация Фойгта

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Если тензор 4-ранга ${\displaystyle c_{ijkl}}$ обладает симметрией по первой и второй паре индексов:

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl}}$,

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk}}$,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

${\displaystyle 11\rightarrow 1}$

${\displaystyle 22\rightarrow 2}$

${\displaystyle 33\rightarrow 3}$

${\displaystyle 23,32\rightarrow 4}$

${\displaystyle 13,31\rightarrow 5}$

${\displaystyle 12,21\rightarrow 6}$.

Например, компонента ${\displaystyle c_{3122}}$ будет соответствовать элементу матрицы ${\displaystyle C_{52}}$.

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$,

где ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{kl}}$ — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости ${\displaystyle c_{ijkl}}$ обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:

${\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}}$,

где ${\displaystyle F}$ — свободная энергия^[] в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij}}$. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных^[1]. Поэтому матрица ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$, составленная из компонент ${\displaystyle c_{ijkl}}$, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

${\displaystyle \sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta }\epsilon _{\beta }}$,

где индексы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ пробегают значения от 1 до 6, или:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &c_{2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}}$

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{12}}$ необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты ${\displaystyle \sigma _{11}}$ входит слагаемое ${\displaystyle c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32}}$, которое в матричной записи соответствует слагаемому ${\displaystyle c_{1123}2\varepsilon _{23}}$.

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости ${\displaystyle s_{ijkl}}$:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl}}$

Тензор ${\displaystyle s_{ijkl}}$ характеризуется той же степенью симметрии, что и ${\displaystyle c_{ijkl}}$. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$.

Обратное матричное уравнение ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta }}$, где ${\displaystyle S=C^{-1}}$, выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}}$

При переходе от декартовой системы координат ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ к декартовой системе координат ${\displaystyle x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime }}$ путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга^[2]:

${\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta }}$

Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}}$

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае ${\displaystyle x_{3}}$), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_{1133}&c_{3333}&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\\end{pmatrix}}}$.

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$

• М. А. Акивис, В. В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
• В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: Мир, 1975. — 871 с.
• Т. Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука, 1977. — 399 с.