Нулевой морфизм

В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.

Определение

Пусть C — категория, и f : X → Y — морфизм в C. f называется постоянным морфизмом, если для любого объекта W в C и любых g, h : W → X, fg = fh. Соответственно, f называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта Z и любых g, h ∈ Mor_C(Y, Z), gf = hf. Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.

Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов A и B зафиксирован морфизм 0_AB : A → B, такой что для любых объектов X, Y, Z в C и любых морфизмов f : Y → Z, g : X → Y следующая диаграмма коммутативна:

Тогда морфизмы 0_XY обязательно являются нулевыми. Если C — категория с нулевыми морфизмами, то 0_XY определены однозначно.

Примеры

В категории групп (или модулей) нулевой морфизм — это гомоморфизм f : G → H, отображающий все элементы G в нейтральный элемент H. нулевой объект в категории групп — это тривиальная группа 1 = {1}. Каждый нулевой морфизм проносится через 1, то есть f : G → 1 → H.

Более общо, пусть C — категория с нулевым объектом 0. Тогда для любых двух объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов

0_XY : X → 0 → Y

Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.

Если C — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов set Mor(X,Y) является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая C категорией с нулевыми морфизмами.

Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет начальный объект, пустое множество ∅. Единственные копостоянные функции в Set — это функции вида ∅ → X.

Литература

Параграф 1.7 Pareigis, Bodo. Categories and functors (неопр.). — Academic Press, 1970. — Т. 39. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.
Herrlich, Horst; Strecker, George E. Category Theory (неопр.). — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973..

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество $\text{[math]}$ , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Элемент $\text{[math]}$ называется единицей и часто обозначается $\text{[math]}$ . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Мономорфи́зм ― морфизм $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует, что $\text{[math]}$ . Часто мономорфизм из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ обозначают $\text{[math]}$ .

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру. Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, потому что оно появляется в большинстве её приложений.

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Копроизведение семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.

Уравнитель в теории категорий — обобщение понятия решения некоторого уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Преде́л в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.

Кодекартов квадрат — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат является частным случаем копредела.

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

<span class="mw-page-title-main">Группоид (теория категорий)</span>

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе $\text{[math]}$ , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента $\text{[math]}$ из $\text{[math]}$ , композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.

Начальный объект — объект $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ такой, что для любого объекта $\text{[math]}$ существует единственный морфизм $\text{[math]}$ .

В теории категорий, представимый функтор — функтор специального типа из произвольной категории в категорию множеств. В некотором смысле, такие функторы задают представление категории в терминах множеств и функций.

Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом.

Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.

Триангулированная категория — это категория с «функтором сдвига» и с классом «выделенных треугольников», удовлетворяющими определённым аксиомам. Важными примерами триангулированных категорий являются производные категории абелевых категорий, а также стабильные гомотопические категории. Выделенные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевых категориях, а также гомотопические последовательности расслоения или корасслоения в топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.