Область Фату — Бибербаха

Область Фату — Бибербаха — собственная подобласть $\mathbb {C} ^{n}$ , биголоморфно эквивалентная $\mathbb {C} ^{n}$ . Открытое множество $\Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}$ называется областью Фату — Бибербаха, если существует биективная голоморфная функция $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ чья обратная функция $f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega$ голоморфна. Как известно, обратная функция $f^{-1}$ не может быть полиномом.

Как следует из теоремы Римана об отображении, в случае $n=1$ области Фату — Бибербаха не существует. Пьер Фату и Людвиг Бибербах впервые исследовали такие области для бо́льших размерностей в 1920-х годах. С 1980-х годов области Фату — Бибербаха снова стали предметом математических исследований.

Литература

Fatou, Pierre: «Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables.» C.R. Paris 175 (1922)
Bieberbach, Ludwig: «Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\mathcal {R}}_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln». Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
Rosay, J.-P. and Rudin, W: «Holomorphic maps from $\mathbb {C} ^{n}$ to $\mathbb {C} ^{n}$ ». Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1]

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия. Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины $\text{[math]}$ при условии, что случайная величина $\text{[math]}$ приняла значение $\text{[math]}$ обозначается как $\text{[math]}$ , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от $\text{[math]}$ . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины $\text{[math]}$ на случайную величину $\text{[math]}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как $\text{[math]}$ , то есть без указания фиксированного значения $\text{[math]}$ .

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $\text{[math]}$ функцию $\text{[math]}$ в той же области.

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\text{[math]}$ -функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\text{[math]}$ .

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — произвольные множества, а $\text{[math]}$ — совокупность всех подмножеств множества $\text{[math]}$ Многозначным отображением из множества $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ называется всякое отображение $\text{[math]}$ Обычно областью определения многозначного отображения $\text{[math]}$ является подмножество $\text{[math]}$ , а областью значений — пространство $\text{[math]}$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$

Пример 1. Пусть $\text{[math]}$ . Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ отрезок $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 2. Пусть $\text{[math]}$ — непрерывная функция. Положим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функций. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году.

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Теорема Богомолова о разложении описывает структуру кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим расслоением. Справку о многообразиях такого типа можно найти в статье «Многообразие Калаби — Яу».

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.

Вещественно-аналитическая функция — вещественная функция, представимая в окрестности каждой точки степенным рядом. Эквивалентное определение: вещественная функция, равная в окрестности каждой точки области определения своему ряду Тейлора.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.