Обратная функция
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .
Функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Определение
Функция называется обратной к функции , если выполнены следующие тождества:
- для всех
- для всех
Связанные определения
- Функция называется левой обратной к функции , если для всех .
- Функция называется правой обратной к функции , если для всех [1].
Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .
Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция где — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[2]:
Примеры
- Если , где то
- Если , где фиксированные постоянные и , то
- Если , то
Свойства
- Областью определения является множество , а областью значений — множество .
- По построению имеем:
или
- ,
- ,
или короче
- ,
- ,
где означает композицию функций, а — тождественные отображения на и соответственно.
- Такое отображение , что («обратное справа»), называется сечением отображения .
- Функция является обратной к :
- .
- Пусть — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .
- Также, если у функции есть обратная ей , то графики этих функций будут симметричны относительно линии .
Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть .
Доказательство |
---|
Поскольку и для любой обратимой функции , где — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: Подействуем слева функцией и получим: Теорема доказана. |
Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».
Разложение в степенной ряд
Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки функции может быть представлена в виде степенного ряда:
где функции задаются рекурсивной формулой:
См. также
Примечания
- ↑ Куликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов"
- ↑ Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.