Обратное отношение

В математике обратное отношение — это отношение, возникающее при изменении порядка элементов в отношении. То есть, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ наборы и ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ это отношение из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y,}$ то ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$ это отношение определено так, что ${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle xLy.}$ В обозначениях записи множеств,

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

Обозначения аналогичны обозначениям обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, однако каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция, которая отображает отношение в обратное отношение, является инволюцией. В качестве унарной операции обратное (иногда называемое транспозицией) коммутирует с операциями исчисления отношений, связанными с порядком, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Поскольку отношение может быть представлено как логическая матрица, а она является транспонированием исходного, обратное отношение также называется транспонированным отношением.^[1] Его также называют противоположным или двойственным исходному отношению,^[2] или обратным исходному отношению,^[3][4][5] или обратным отношением. ${\displaystyle L^{\circ }}$ отношения ${\displaystyle L.}$

Другие обозначения для обратного отношения включают ${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$ или ${\displaystyle L^{\vee }.}$

В моноиде внутренних отношений на множестве (при этом бинарная операция над отношениями является композицией отношений) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, то есть если ${\displaystyle L}$ является произвольным отношением на ${\displaystyle X,}$ затем ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$не равно тождественному отношению на ${\displaystyle X}$ в общем. Обратное соотношение удовлетворяет аксиомам полугруппы с инволюцей: ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$ и ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$^[6]

Кроме того, полугруппа однородных отношений^[англ.] на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным кванталом.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения, а также с взятием супремума и инфинума. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.^[1]

Если ${\displaystyle I}$ представляет тождественное отношение, то отношение ${\displaystyle R}$ может иметь обратное следующим образом: ${\displaystyle R}$ называется

Обратимое отношение справа

Если существует отношение ${\displaystyle X,}$ называемое правой обратной зависимостью ${\displaystyle R,}$удовлетворяющее ${\displaystyle R\circ X=I.}$

Обратимое отношение слева

Если существует отношение ${\displaystyle Y,}$ называемое левой обратной зависимостью ${\displaystyle R,}$ удовлетворяющее ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

Обратимое отношение

Если оно обратимо слева и справа.

Для обратимого однородного отношения ${\displaystyle R,}$ все правые и левые обратные совпадают; этот уникальный набор называется инверсия (обратная зависимость) и обозначается ${\displaystyle R^{-1}.}$ В этом случае, ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$.^[1]

Функция обратима тогда и только тогда, когда её обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции ${\displaystyle f:X\to Y}$ отношение ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ определяется ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

Это не обязательно функция: одно необходимое условие состоит в том, что ${\displaystyle f}$ быть инъективным, так как иначе ${\displaystyle f^{-1}}$ является многозначным . Это условие является достаточным для ${\displaystyle f^{-1}}$ является частичной функцией, и ясно, что ${\displaystyle f^{-1}}$ тогда является (суммарной) функцией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ является сюръективным . В этом случае, то есть если ${\displaystyle f}$ биективен, ${\displaystyle f^{-1}}$ можно назвать обратной функцией ${\displaystyle f.}$

Однако функция ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ имеет обратное отношение ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$ которая не является функцией, будучи многозначной.

Используя композицию отношений, обратное может быть составлено с исходным отношением. Например, отношение подмножества, составленное из обратного отношения, всегда является универсальным отношением:

Теперь рассмотрим отношение принадлежности множества и его обратное.

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$

Таким образом ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$ Противоположный состав ${\displaystyle \in \ni }$ является универсальным отношением.

Композиции используются для классификации отношений по типу: для отношения Q, когда тождественное отношение в диапазоне Q содержит Q ^T Q, тогда Q называется одновалентным . Когда отношение тождества на области определения Q содержится в QQ ^T, тогда Q называется полным . Когда Q одновалентно и тотально, то это функция . Когда Q ^T одновалентен, то Q называется инъективным . Когда Q ^T полон, Q называется сюръективным.