Однородная мозаика

Однородная мозаика — вершинно транзитивная мозаика на плоскости с правильными многоугольными гранями.

Однородная мозаика может существовать как на евклидовой плоскости, так и на гиперболической плоскости. Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно считать однородными замощениями сферы.

Большинство однородных мозаик могут быть получены построением Витхоффа с помощью симметрии, начиная с одной генерирующей точки внутри фундаментальной области. Группа симметрии на плоскости имеет многоугольную фундаментальную область и может быть представлена порядком зеркал в последовательности вершин.

Треугольная фундаментальная область имеет порядки зеркал (p q r), а прямоугольная треугольная область — (p q 2), где p, q, r — целые числа, большие единицы. Треугольник может быть сферическим треугольником, евклидовым треугольником или треугольником на гиперболической плоскости, что зависит от значений p, q и r.

Существует несколько символических схем для именования полученных фигур, начиная с модифицированного символа Шлефли для фундаментальной области в виде прямоугольного треугольника (p q 2) → {p, q}. Диаграмма Коксетера — Дынкина является графом с помеченными значениями p, q, r рёбрами. Если r = 2, граф линеен, поскольку узлы порядка 2 не образуют отражений. Символ Витхоффа^[англ.] использует 3 целых числа с разделительной вертикальной чертой между ними (|). Если генерирующая точка не находится на зеркале, символ вершины, противоположной зеркалу, помещается до вертикальной черты.

Наконец, мозаики можно описать с помощью их вершинной конфигурации, т.е. последовательности многоугольников вокруг каждой вершины.

Все однородные мозаики можно построить с помощью различных операций, применённых к правильным мозаикам. Имена этим операциям дал американский математик Норман Джонсон, это truncation (усечение, отрезание вершин), rectification (полное усечение, отрезание вершин до полного исчезновения исходных рёбер) и cantellation (скашивание, срезание рёбер). Omnitruncation (всеусечение^[англ.]) — это операция, комбинирующая усечение и скашивание. Snubbing (отрезание носов) — это операция альтернированного усечения всеусечённых форм. (См. Операторы построения Витхоффа для подробного объяснения операций.)

Группы Коксетера на плоскости определяют построение Витхоффа и могут быть представлены диаграммами Коксетера — Дынкина:

Для групп с целым числовым порядком:

Евклидова плоскость

Орбифолдная симметрия[англ.]	Группа Коксетера			Диаграмма Коксетера	Примечания
Компактные
*333	(3 3 3)	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[3[3]]		3 зеркальные формы, 1 плосконосая
*442	(4 4 2)	${\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}$	[4,4]		5 зеркальных форм, 1 плосконосая
*632	(6 3 2)	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	[6,3]		7 зеркальных форм, 1 плосконосая
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ × ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[∞,2,∞]		3 зеркальные формы, 1 плосконосая
Некомпактные (бордюр)
*∞∞	(∞)	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ × ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	[∞,2]		2 зеркальные формы, 1 плосконосая

Гиперболическая плоскость

Орбифолдная симметрия[англ.]	Группа Коксетера		Диаграмма Коксетера	Примечания
Компактные
*pq2	(p q 2)	[p,q]		2(p+q) < pq
*pqr	(p q r)	[(p,q,r)]		pq+pr+qr < pqr
Паракомпактные
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]		p>=3
*∞pq	(p q ∞)	[(p,q,∞)]		p,q>=3, p+q>6
*∞∞p	(p ∞ ∞)	[(p,∞,∞)]		p>=3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

Имеются группы симметрии на евклидовой плоскости, получающиеся из фундаментальных треугольников (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждая из них представляется набором прямых (зеркал), делящих плоскость на фундаментальные треугольники.

Эти группы симметрии создают 3 правильных мозаики и 7 полуправильных. Число полуправильных мозаик повторяется при различных конструкциях симметрии.

Призматическая группа симметрии, представленная символом (2 2 2 2), задаётся двумя наборами параллельных зеркал, что, в общем случае, может иметь прямоугольную фундаментальную область. Группа не образует новых мозаик.

Далее — призматическая группа симметрии, представленная символом (∞ 2 2), имеет бесконечную фундаментальную область. Группа даёт две однородные мозаики, бесконечноугольную призму^[англ.] и бесконечноугольную антипризму^[англ.].

При совмещении конечных граней этих двух призматических мозаик получим невитхоффову однородную мозаику на плоскости. Она называется изокурносым треугольным паркетом^[англ.] и состоит из поочерёдных слоёв квадратов и треугольников.

Прямоугольный фундаментальный треугольник (p q 2)

(p q 2)	Фунд. треугольники	Родитель	Усеченная	Полностью усечённая	Биусечённая	Полностью биусечённая (двойственная)	Скошенная	Всеусечённая	Плосконосая
Символ Витхоффа		q | p 2	2 q | p	2 | p q	2 p | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Символ Шлефли		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Диаграмма Коксетера
Вершинная фигура		pq	q.2p.2p	(p.q)2	p. 2q.2q	qp	p. 4.q.4	4.2p.2q	3.3.p. 3.q
Квадратная мозаика (4 4 2)		{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Шестиугольная мозаика (6 3 2)		{6,3}	3.12.12[англ.]	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4[англ.]	4.6.12[англ.]	3.3.3.3.6

Фундаментальные треугольники общего вида (p q r)

символ Витхоффа (p q r)	Фунд. треугольники	q | p r	r q | p	r | p q	r p | q	p | q r	p q | r	p q r |	| p q r
Диаграмма Коксетера
Вершинная конфигурация		(p.q)r	r.2p.q.2p	(p.r)q	q.2r.p. 2r	(q.r)p	q.2r.p. 2r	r.2q.p. 2q	3.r.3.q.3.p
Треугольная (3 3 3)		(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Несимплициальные фундаментальные области

Единственной возможной фундаментальной областью в евклидовом пространстве, не являющейся симплексом, является прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Коксетера . Из этой области становятся получаются только квадратные паркеты.

Существует бесконечно много однородных мозаик из выпуклых правильных многоугольников на гиперболической плоскости, каждая из которых основана на различных группах зеркальной симметрии (p q r).

Примеры, показанные здесь, даны в проекции на диск Пуанкаре.

Диаграммы Коксетера — Дынкина даны в линейной форме, хотя, на самом деле, это треугольники, в которых конечный сегмент r соединён с первым узлом.

Кроме того, на гиперболической плоскости существуют четырёхугольные фундаментальные области, начиная с (2 2 2 3), которые могут образовать новые формы. Также существуют фундаментальные области с вершинами на бесконечности, такие как (∞ 2 3).

Прямоугольные фундаментальные треугольники (p q 2)

(p q 2)	Фунд. треугольники	Родитель	Усечённая	Полностью усечённая	Биусечённая	Полностью биусечённая (двойственная)	Скошенная	Всеусечённая	Плосконосая
Символ Витхоффа		q | p 2	2 q | p	2 | p q	2 p | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Символ Шлефли		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вершинная фигура		pq	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p. 2q.2q)	qp	(p. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p. 3.q)
(Гиперболическая плоскость) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Гиперболическая плоскость) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Гиперболическая плоскость) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7[англ.]	7.6.6	{3,7}[англ.]	3.4.7.4	4.6.14[англ.]	3.3.3.3.7
(Гиперболическая плоскость) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3}][англ.]	3.16.16	3.8.3.8[англ.]	8.6.6	{3,8}[англ.]	3.4.8.4	4.6.16[англ.]	3.3.3.3.8

Фундаментальные треугольники (p q r) общего вида

Символ Витхоффа (p q r)	Фундам. треугольники	q | p r	r q | p	r | p q	r p | q	p | q r	p q | r	p q r |	| p q r
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вершинная фигура		(p.r)q	(r.2p.q.2p)	(p.q)r	(q.2r.p. 2r)	(q.r)p	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Гиперболические (4 3 3)	V6.6.8	(3.4)3	3.8.3.8	(3.4)3	3.6.4.6	(3.3)4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Гиперболические (4 4 3)	V6.8.8	(3.4)4	3.8.4.8	(4.4)3	3.6.4.6	(3.4)4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Гиперболические (4 4 4)	V8.8.8	(4.4)4	4.8.4.8	(4.4)4	4.8.4.8	(4.4)4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Существует несколько путей расширения списка однородных мозаик:

1. Вершинные фигуры могут иметь вырожденные грани и оборачиваться вокруг вершины более одного раза.
2. Можно включить мозаики со звёздчатыми многоугольниками.
3. В качестве граней мозаик могут использоваться апейрогоны, {∞}.
4. Может быть отброшено ограничение, что грани мозаики соприкасаются ребро-к-ребру, что даёт дополнительные мозаики, такие как пифагорова мозаика.

Треугольники групп симметрии с вырожденными гранями включают:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Треугольники групп симметрии с бесконечностями включают:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Бранко Грюнбаум в книге 1987 года Tilings and patterns (Мозаики и узоры) в секции 12.3 приводит список 25 однородных мозаик, включающих 11 выпуклых и ещё 14, которые он называет мозаиками с впадинами. Среди последних включены первые две расширенные мозаики, указанные выше, мозаики со звёздчатыми многоугольными гранями и вершинными фигурами.

Гарольд Коксетер и др. в статье 1954 года 'Uniform polyhedra' (Однородные многогранники) в Таблице 8 Однородные замощения указывает первые три расширения и приводит список из 38 однородных мозаик.

Наконец, если считать мозаики с 2 бесконечноугольниками, можно насчитать, в общей сложности, 39 однородных мозаик.

7 новых мозаик с {∞} гранями с вершинными фигурами и символами Витхоффа^[англ.]:

1. ∞.∞ (две грани в виде полуплоскостей, бесконечный диэдр)
2. 4.4.∞ — ∞ 2 | 2 (бесконечноугольная призма^[англ.])
3. 3.3.3.∞ — | 2 2 ∞ (бесконечноугольная антипризма^[англ.])
4. 4.∞.4/3.∞ — 4/3 4 | ∞ (альтернированный квадратный паркет)
5. 3.∞.3.∞.3.∞ — 3/2 | 3 ∞ (альтернированный треугольный паркет)
6. 6.∞.6/5.∞ — 6/5 6 | ∞ (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с шестиугольниками)
7. ∞.3.∞.3/2 — 3/2 3 | ∞ (альтернированная тришестиугольная мозаика, только с треугольниками)

Оставшийся список включает 21 мозаику с 7 {∞} гранями (бесконечноугольники). Если нарисовать мозаики как графы, останется только 14 уникальных мозаик, и первая идентична мозаике 3.4.6.4.

21 мозаик, сгруппированных по общим графам с указанием вершинной фигуры и символа Витхоффа:

Мозаики могут быть самодвойственными. Квадратный паркет с символом Шлефли {4,4} является самодвойственным. На рисунке показаны два квадратных паркета (красный и чёрный), двойственных друг другу.

• Символ Витхоффа^[англ.]
• Список однородных мозаик^[англ.]
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости
• Однородный многогранник

• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Grünbaum, Branko, G.C. Shephard. Tilings and Patterns (неопр.). — W. H. Freeman and Company^[англ.], 1987. — ISBN 0-7167-1193-1. (Star tilings section 12.3)
• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR: [1] (Table 8)

• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Uniform Tessellations on the Euclid plane Архивная копия от 4 июня 2016 на Wayback Machine
• Tessellations of the Plane Архивная копия от 24 февраля 2020 на Wayback Machine
• David Bailey's World of Tessellations Архивная копия от 2 апреля 2016 на Wayback Machine
• k-uniform tilings
• n-uniform tilings Архивная копия от 21 мая 2016 на Wayback Machine
• Richard Klitzing, 4D, Euclidean tilings Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine