Односвязное пространство

Односвязное пространство — линейно связное топологическое пространство, в котором любой замкнутый путь можно непрерывно стянуть в точку. Пример: сфера односвязна, а поверхность тора не односвязна, потому что окружности на торе, показанные красным на рисунке, нельзя стянуть в точку.

Определения

Линейно связное топологическое пространство $X$ называется односвязным, если все замкнутые пути в нём гомотопны нулю.

Эквивалентное определение: Линейно связное топологическое пространство $X$ называется односвязным, если фундаментальная группа пространства $X$ тривиальна.

Примеры

Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ односвязно.
Дополнение $\mathbb {R} ^{n}\backslash A,\ n\geqslant 3$ , где $A$ — не более чем счётный набор аффинных подпространств в $\mathbb {R} ^{n}$ коразмерности 3 или больше, является односвязным.
Круговое кольцо, лента Мёбиуса, проективная плоскость не односвязны.

Свойства

Односвязность является гомотопическим инвариантом, то есть гомотопически эквивалентные пространства либо оба односвязны, либо оба не односвязны.

Литература

Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

Ссылки

И. М. Виноградов. Односвязная область // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Локально связное пространство ― топологическое пространство $\text{[math]}$ , в котором для любой точки $\text{[math]}$ и любой её окрестности $\text{[math]}$ имеется меньшая связная окрестность $\text{[math]}$ . Эквивалентно, топологическое пространство с локальными базами из связных множеств.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на $\text{[math]}$ гомотопно постоянному.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности $\text{[math]}$ на множестве $\text{[math]}$ , обозначается $\text{[math]}$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Ориента́ция — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

<span class="mw-page-title-main">Трёхмерная сфера</span> многомерный аналог сферы

Трёхмерная сфе́ра — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.