Односторонний предел
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).
Определения
Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.
Односторонний предел по Гейне
- Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
- Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
Односторонний предел по Коши
- Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
- Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .[1]
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств
и
являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Обозначения
- Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
- Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
- При этом используются также сокращённые обозначения:
- и для правого предела;
- и для левого предела.
- При для сокращения записи вместо и обычно пишут и соответственно.
Свойства
- Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
- Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.[1]
Примеры
- Тождественная числовая функция
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел:
- Кусочно-заданная функция
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует
- Функция sgn(x)
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.