Окольцованное пространство

Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.

Окольцованное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ — это топологическое пространство ${\displaystyle X}$ вместе с пучком коммутативных колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ на нём. Этот пучок называется структурным пучком пространства ${\displaystyle X}$.

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство, такое что слой пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ в любой точке — локальное кольцо.

Любое топологическое пространство можно наделить структурой локально окольцованного пространства, если рассмотреть пучок непрерывных действительнозначных функций на нём. Слой этого пучка в точке x — кольцо ростков непрерывных действительнозначных функций в x — является локальным кольцом, единственный максимальный идеал которого — ростки функций, равных нулю в x. Аналогичным образом, гладкое многообразие с пучком гладких функций является локально окольцованным пространством.

Если X — алгебраическое многообразие с топологией Зарисского (например, спектр некоторого кольца), структуру локально окольцованного пространства на нём вводят следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ — множество рациональных функций, определённых на всём U. Такое окольцованное пространство называют аффинной схемой, общие схемы определяют как результат «склейки» нескольких аффинных схем.

Для того, чтобы задать морфизм из ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ в ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$, нужно зафиксировать следующую информацию:

• Непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$.
• Для каждого открытого подмножества ${\displaystyle U\in Y}$ — гомоморфизм колец ${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))}$.

Гомоморфизмы колец должны быть согласованы со структурой пучка, то есть коммутировать с отображениями ограничения. А именно, если ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}}$ — открытые подмножества ${\displaystyle Y}$, следующая диаграмма должна быть коммутативной:

Морфизмы локально окольцованных пространств должны удовлетворять ещё одному требованию. Гомоморфизмы ${\displaystyle \varphi }$ для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ индуцируют гомоморфизм из слоя ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ в точке ${\displaystyle f(x)}$ в слой ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ в точке ${\displaystyle x}$. Требуется, чтобы все эти гомоморфизмы были локальными, то есть переводили максимальный идеал прообраза в подмножество максимального идеала образа.

Структура локально окольцованного пространств позволяет ввести осмысленное определение касательного пространства в его точке. Рассмотрим точку ${\displaystyle x\in X}$ окольцованного пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Рассмотрим локальное кольцо ${\displaystyle R_{x}}$ (слой пучка в точке x) с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. Тогда ${\displaystyle R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$ — поле, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ — векторное пространство над этим полем. Касательное пространство в точке ${\displaystyle x}$ определяется как двойственное к этому пространству.

Идея состоит в следующем: касательное пространство состоит из векторов, вдоль которых можно «дифференцировать» «функции» в данной точке, то есть элементы кольца ${\displaystyle R_{x}}$. Достаточно найти способ дифференцирования функций, значение которых в данной точке равно нулю, так как остальные отличаются от них на константу, то есть достаточно описать производные функций из ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. При этом дифференциал произведения двух функций из ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ равен нулю (мы хотим, чтобы формула производной произведения осталась верной). Следовательно, вектор должен присваивать число каждому элементу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$, и это то, что делают элементы двойственного пространства.

Легко проверить, что в случае гладких многообразий с пучком гладких функций это определение совпадает с обычным. С другой стороны, в случае топологического пространства с пучком непрерывных (вещественнозначных) функций ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$, так как для непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ функция ${\displaystyle {\sqrt {|f(x)|}}}$ также непрерывна. Следовательно, в этом случае касательное пространство в любой точке имеет размерность 0.

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine Publications Mathématiques de l’IHÉS 4. Section 0.4.
• Окольцованное пространство — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик