Оператор Гильберта — Шмидта
Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве
Определение
Пусть - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для можно выбрать ортонормированные системы , и последовательность неотрицательных чисел так, что .
называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его -чисел выполнено неравенство: .
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают:
Свойства
- Класс представляет собой банахово пространство относительно нормы
- Совокупность операторов конечного ранга плотна в
- Пространство - сепарабельно, если - сепарабельны
- Если , то - ядерный оператор и
- В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса
- Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта
- - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы и в пространстве и соответственно, что . Величину называют матричным элементом оператора. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта
Класс можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов ввести скалярное произведение:
, которое вдобавок согласуется с .
Из этого следует ряд свойств:
- Класс - сепарабельное гильбертово пространство.
- Пусть и - какие-либо ортонормированные базисы в . Тогда система одномерных операторов образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
Примеры
- Оператор в является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
- Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта
Литература
- А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
- А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
- М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.