Определение предела в терминах эпсилон и дельта

Определение предела в терминах ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \delta }$ («эпсилон–дельта-определение предела») — это формализация понятия предела. Концепция принадлежит Огюстену Луи Коши, который не дал формальное определение предела в терминах ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \delta }$ в своём труде Cours d'Analyse^[англ.], хотя использовал время от времени ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \delta }$ в доказательствах. Первым дал формальное определение Бернард Больцано в 1817 году, а современную формулировку дал Карл Вейерштрасс^[1][2]. Он дал точную формулировку следующему неформальному определению: зависимое выражение ${\displaystyle f(x)}$ стремится к значению L при стремлении переменной x к значению c, если значение ${\displaystyle f(x)}$ можно сделать сколь угодно близким к значению L путём выбора x достаточно близкого к c.

Несмотря на то, что греки сталкивались со сходимостью, например, в вавилонском методе^[англ.] вычисления квадратных корней, у них не было концепции, подобной современному понятию предела^[3]. Необходимость концепции предела возникла в 1600-х годах, когда Пьер Ферма пытался найти угловой коэффициент касательной в точке ${\displaystyle x}$ к графику функции, такой как ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Используя ненулевую, но очень малую, почти нулевую величину ${\displaystyle E}$, Ферма сделал следующие вычисления:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{наклон}}&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E)^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}}$

Ключевым фактом вышеприведённых вычислений является ненулевое значение ${\displaystyle E}$, а тогда можно делить ${\displaystyle f(x+E)-f(x)}$ на ${\displaystyle E}$. Однако из-за того, что ${\displaystyle E}$ близок к 0, выражение ${\displaystyle 2x+E}$, фактически, равно ${\displaystyle 2x}$^[4]. Величины, подобные ${\displaystyle E}$, называются бесконечно малыми. Проблема в этом вычислении заключается в том, что математики той эпохи были не в состоянии точно определить величины со свойствами ${\displaystyle E}$^[5], хотя общей практикой было пренебрегать высокими степенями бесконечно малых величин, и эта практика давала корректные результаты.

Проблема возникла в конце 1600-х годов при развитии математического анализа, когда вычисления, такие как у Ферма, становятся важными для вычисления производных. Исаак Ньютон первым разработал анализ с помощью бесконечно малых величин, которые называл флюксиями^[англ.]. Он развивал свой метод, имея в виду идею «бесконечно маленького момента времени...»^[6]. Позднее, Ньютон отказался от флюксий в пользу теории пропорций, которая ближе к современному определению предела ${\displaystyle \varepsilon {\text{–}}\delta }$^[6]․ Более того, Ньютон отдавал себе отчёт, что предел отношения стремящихся к нулю величин не является самим отношением пределов. Он писал:

Это предельные отношения не являются фактическими отношениями предельных величин, а являются пределами, которые могут быть достигнуты ближе, чем любая заданная величина...

Дополнительно, Ньютон время от времени объяснял предел в терминах, похожих на ${\displaystyle \varepsilon {\text{–}}\delta }$ определение^[7]. Готфрид Вильгельм Лейбниц развивал собственные бесконечно малые и пытался обеспечить для них строгую основу, но его идеи были встречены с тревогой некоторыми математиками и философами^[6].

Огюстен Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной. Он никогда не давал определение предела в терминах ${\displaystyle \varepsilon {\text{–}}\delta }$ (Grabiner 1981). Некоторые из доказательств Коши содержат признаки ${\displaystyle \varepsilon {\text{–}}\delta }$ метода. Может ли его подход считаться предвестником подхода Вейерштрасса — предмет научной дискуссии. Существует мнение , что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же имя различным понятиям предела^[8].

Со временем Вейерштрасс и Больцано были признаны как давшие твёрдую опору для математического анализа в виде современного ${\displaystyle \varepsilon {\text{-}}\delta }$ определения предела^[1][2]. Необходимость ссылки на бесконечно малую величину ${\displaystyle E}$ исчезла^[6], и вычисления Ферма превратились в следующий предел:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Нельзя сказать, что определение свободно от проблем, и, хотя оно и дало возможность избавиться от бесконечно малых величин, позже для него потребовалось построение вещественных чисел Рихарда Дедекинда ^[6]. Нельзя также сказать, что бесконечно малых нет в современной математике, поскольку математики смогли создать бесконечно малые величины как часть систем гипервещественных чисел или сюрреальных чисел. Более того, можно строго развивать математический анализ с такими величинами, и они имеют другие использования в математике^[9].

Возможным неформальным (то есть интуитивным или приблизительным) определением является «функция ${\displaystyle f}$ стремится к пределу L близ точки a (в символьном виде, ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\,}$), если можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L путём выбора x достаточно близко к (но исключая) a»^[10].

Когда говорится, что две величины близки (как f(x) и L, или x и a), имеется в виду, что расстояние между ними мало. Если f(x), L, x и a являются вещественными числами, расстояние между двумя числами равны абсолютной величине разности двух величин. Таким образом, когда говорится, что f(x) близко к L, имеется в виду, что ${\displaystyle |f(x)-L|}$ мало. Когда говорится, что x и a близки, имеется в виду, что ${\displaystyle |x-a|}$ мало^[11].

Когда говорится, что можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L, имеется в виду, что для всех ненулевых расстояний ${\displaystyle \varepsilon }$ можно обеспечить расстояние между f(x) и L меньше, чем ${\displaystyle \varepsilon }$^[11].

Когда говорится, что можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L путём требования к x быть достаточно близким к a, но не равным a, имеется в виду, что для любого ненулевого расстояния ${\displaystyle \varepsilon }$ существует ненулевое расстояние ${\displaystyle \delta }$, такое, что если расстояние между x и a меньше ${\displaystyle \delta }$, то расстояние между f(x) и L меньше ${\displaystyle \varepsilon }$^[11].

Неформальный/интуитивный аспект, используемый здесь, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего рассуждения (которое обычно перефразируется на языке например «когда противник/соперник атакует вас с ${\displaystyle \varepsilon }$, вы защищаетесь величиной ${\displaystyle \delta }$»): кто-то даёт испытательную величину ${\displaystyle \varepsilon >0}$ для заданной функции ${\displaystyle f}$, точки a и предела L. Нужно ответить величиной ${\displaystyle \delta >0}$, такой что из ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ следует ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$. Если можно обеспечить ответ на любую испытательную величину, то предел существует^[12].

Определение в терминах ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$ предела функции следующее^[11]:

Пусть ${\displaystyle f}$ будет вещественной функцией, определённой на подмножестве ${\displaystyle D}$ вещественных чисел. Пусть ${\displaystyle c}$ будет предельной точкой множества ${\displaystyle D}$ и пусть ${\displaystyle L}$ будет вещественным числом. Говорится, что

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$, такое, что для всех ${\displaystyle x\in D}$, если ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$, то ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$^[13].

В символическом виде:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L\iff (\forall \varepsilon >0,\,\exists \ \delta >0,\,\forall x\in D,\,0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).}$

Если ${\displaystyle D=[a,b]}$ или ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$, условие, что ${\displaystyle c}$ является предельной точкой, может быть заменено на более простое условие, что c принадлежит D, поскольку замкнутые вещественные интервалы и вся вещественная ось являются совершенными множествами.

Определение можно обобщить на функции, отображающие метрическое пространство в другое метрическое пространство. Эти пространства приходят с функцией, называемой метрикой, которая берёт две точки пространства и возвращает вещественное число, представляющее расстояние между этими двумя точками^[14]. Обобщённое определение^[15]:

Предположим, что функция ${\displaystyle f}$ определена на подмножестве ${\displaystyle D}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ с метрикой ${\displaystyle d_{X}(x,y)}$ и отображает его в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$ с метрикой ${\displaystyle d_{Y}(x,y)}$. Пусть ${\displaystyle c}$ будет предельной точкой множеств ${\displaystyle D}$, а ${\displaystyle L}$ будет точкой пространства ${\displaystyle Y}$.

Мы говорим, что

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta }$, такой что для всех ${\displaystyle x\in D}$ из ${\displaystyle 0<d_{X}(x,c)<\delta }$ следует ${\displaystyle d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon }$.

Поскольку ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ является метрикой на вещественных числах, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функций^[16].

Логическое отрицание определения следующее^[17]:

Предположим, что функция ${\displaystyle f}$ определена на подмножестве ${\displaystyle D}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ с метрикой ${\displaystyle d_{X}(x,y)}$ и отображает его в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$ с метрикой ${\displaystyle d_{Y}(x,y)}$. Пусть ${\displaystyle c}$ будет предельной точкой множества ${\displaystyle D}$ и пусть ${\displaystyle L}$ будет точкой в пространстве ${\displaystyle Y}$.

Мы говорим, что

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\neq L,}$

если существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$, такой, что для всех ${\displaystyle \delta >0}$ существует ${\displaystyle x\in D}$, такой, что ${\displaystyle 0<d_{X}(x,c)<\delta }$ и ${\displaystyle d_{Y}(f(x),L)>\varepsilon }$.

Мы говорим что ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$ не существует, если для всех ${\displaystyle L\in Y\lim _{x\to c}f(x)\neq L}$.

Для отрицания утверждения для вещественных функций, определённых на вещественных числах, просто берём ${\displaystyle d_{Y}(x,y)=d_{X}(x,y)=|x-y|}$.

Точное определение для предела на бесконечности следующее:

Пусть функция ${\displaystyle f}$ будет вещественной функцией, определённо на подмножестве ${\displaystyle D}$ множества вещественных чисел, и это подмножество содержит произвольно большие числа. Мы говорим, что

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$

если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует вещественное число ${\displaystyle N>0}$, такое, что для всех ${\displaystyle x\in D}$ из условия ${\displaystyle x>N}$ вытекает ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$^[18].

Можно дать аналогичное определение и для произвольных метрических пространств.

Покажем, что

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}=0.}$

Пусть значение ${\displaystyle \varepsilon >0}$ задано. Нам нужно найти ${\displaystyle \delta >0}$, такой, что из ${\displaystyle |x-0|<\delta }$ следует ${\displaystyle \left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon }$.

Поскольку синус ограничен сверху величиной 1, а снизу величиной −1,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|&=\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|=|x|\left|\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}\right|\leqslant |x|.\end{aligned}}}$

Таким образом, если мы примем ${\displaystyle \delta =\varepsilon }$, то из ${\displaystyle |x|=|x-0|<\delta }$ следует ${\displaystyle \left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leqslant |x|<\varepsilon }$, что завершает доказательство.

Докажем, что

${\displaystyle \lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}}$

для любого вещественного числа ${\displaystyle a}$.

Пусть значение ${\displaystyle \varepsilon >0}$ задано. Мы найдём ${\displaystyle \delta >0}$, такой, что из ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ следует ${\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon }$.

Начнём с разложения на множители:

${\displaystyle |x^{2}-a^{2}|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.}$

Понимаем, что множитель ${\displaystyle |x-a|}$ ограничен величиной ${\displaystyle \delta }$, так что мы предполагаем границу 1 и впоследствии можем выбрать что-то меньшее ${\displaystyle \delta }$^[19]

Таким образом, мы полагаем ${\displaystyle |x-a|<1}$. Поскольку ${\displaystyle |x|-|y|\leqslant |x-y|}$ выполняется для вещественных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, мы имеем

${\displaystyle |x|-|a|\leqslant |x-a|<1.}$

А тогда,

${\displaystyle |x|<1+|a|.}$

Согласно неравенству треугольника,

${\displaystyle |x+a|\leqslant |x|+|a|<2|a|+1.}$

Если теперь предположить, что

${\displaystyle |x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}}$

получим

${\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon .}$

Выберем

${\displaystyle \delta =\min {\left\{1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right\}}.}$

Теперь, если ${\displaystyle |x-a|<\delta }$, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|&=|x-a||x+a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(|x+a|)<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)=\varepsilon .\end{aligned}}}$

Таким образом, мы нашли ${\displaystyle \delta }$, такой, что из ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ следует ${\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon }$. Тем самым мы показали, что

${\displaystyle \lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}}$

для любого вещественного числа ${\displaystyle a}$.

Докажем, что

${\displaystyle \lim _{x\to 5}(3x-3)=12.}$

Используя графическое понимание предела, можно подвести строгую основу для введения в доказательство. Так, согласно формальному определению, приведенному выше, утверждение о пределе верно тогда и только тогда, когда ограничение отклонения ${\displaystyle x}$ на величину ${\displaystyle \delta }$ от точки ${\displaystyle c}$ неминуемо ограничивает отклонение ${\displaystyle f(x)}$ от ${\displaystyle L}$ до величины ${\displaystyle \varepsilon }$ (см. иллюстрацию в начале статьи). В данном случае это означает, что утверждение верно тогда и только тогда, когда ограничиваем отклонение ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle \delta }$ от значения 5 неизбежно ограничивает

${\displaystyle 3x-3}$

на ${\displaystyle \varepsilon }$ от значения 12. Чтобы показать это, нужно продемонстрировать, как ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ должны быть связаны, чтобы требование выполнялось. Мы хотим показать математически, что

${\displaystyle 0<|x-5|<\delta \ \Rightarrow \ |(3x-3)-12|<\varepsilon .}$

Подводя общие члены, вынося константу 3 и деля на неё в правой части импликации, получаем

${\displaystyle |x-5|<\varepsilon /3,}$

что немедленно даёт требуемый результат, если выберем

${\displaystyle \delta =\varepsilon /3.}$

Таким образом, доказательство завершено. Ключевой момент доказательства заключается в возможности выбора границ ${\displaystyle x}$, а потом в возможности перейти к соответствующим границам ${\displaystyle f(x)}$. В нашем случае это было связано с множителем 3, который появляется как следствие коэффициента наклона 3-й прямой.

${\displaystyle y=3x-3.}$

Говорят что функция f непрерывна в точке c, если она определена в c и её значение в c равно пределу f при стремлении x к c:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$

${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$-определение непрерывной функции можно получить из определения предела путём замены ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ на ${\displaystyle |x-c|<\delta }$, чтобы обеспечить, что f определена в c и это значение совпадает с пределом.

Говорят, что функция f непрерывна на интервале I, если она непрерывна в любой точке c интервала I.

Ховард Джером Кейслер^[англ.] доказал, что гипервещественное определение предела^[англ.] уменьшает сложность по кванторам на два квантора^[20]. А именно, ${\displaystyle f(x)}$ сходится к пределу L при стремлении ${\displaystyle x}$ к a тогда и только тогда, когда значение ${\displaystyle f(x+e)}$ бесконечно близко к L для любого бесконечно малого e. (См. Микронепрерывность^[англ.] для связанных определений непрерывности, фактически принадлежащих Коши.)

Учебники, по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона, дают определения непрерывности, производной и интеграла в терминах бесконечно малых величин. Когда понятия, такие как непрерывность, всесторонне объяснены через микронепрерывность, подход эпсилон–дельта также представляется. Карел Хрбачек считает, что определения непрерывности, производной и интегрирования в стиле нестандартного анализа Робинсона должны основываться на методе ${\displaystyle \varepsilon {-}\delta }$, чтобы покрыть также нестандартные входные значения^[21]. Блащик возражает, считая, что микронепрерывность^[англ.] полезна при разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и считает критицизм Хрбачека «неясными жалобами»^[22]. Хрбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от анализа Робинсона) имеет несколько «уровней» бесконечно малых величин, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых величин следующего уровня^[23].

• Непрерывное отображение
• Предел последовательности
• Теорема о двух милиционерах

• The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. — Courier Corporation, 1982. — ISBN 978-0-486-14374-3.
• Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition: Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17th–19th Century France and Germany. — Springer, 2005. — ISBN 978-0-387-22836-5.