Определитель Грама

Определитель Грама
Определяющая формула	${\displaystyle \operatorname {Gram} (A)=\det(A^{T}A)}$

Определителем Грама (грамианом) системы векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},\;e_{1}\rangle &\langle e_{1},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},\;e_{n}\rangle \\\langle e_{2},\;e_{1}\rangle &\langle e_{2},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},\;e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},\;e_{1}\rangle &\langle e_{n},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},\;e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}},}$

где ${\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle V}$ система векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ порождает подпространство ${\displaystyle U}$. Зная, чему равны скалярные произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из ${\displaystyle U}$ с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора ${\displaystyle x}$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$.

Исходя из разложения

${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n},}$

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

${\displaystyle {\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\\end{cases}}}$

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle V}$ система векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ порождает подпространство ${\displaystyle U}$. Зная скалярные произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из ${\displaystyle V}$ с каждым из этих векторов, найти расстояние от ${\displaystyle \mathbf {x} }$ до ${\displaystyle U}$.

Минимум расстояний ${\displaystyle |\mathbf {x} -\mathbf {u} |}$ по всем векторам ${\displaystyle \mathbf {u} }$ из ${\displaystyle U}$ достигается на ортогональной проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ на ${\displaystyle U}$. При этом ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {n} }$, где вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$ перпендикулярен всем векторам из ${\displaystyle U}$, и расстояние от ${\displaystyle \mathbf {x} }$ до ${\displaystyle U}$ равно модулю вектора ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Для вектора ${\displaystyle \mathbf {u} }$ решается задача о разложении (см. выше) по векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

${\displaystyle \mathbf {u} =-{\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {0} \end{vmatrix}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — определитель Грама системы. Вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$ равен:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} -\mathbf {u} ={\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {x} \end{vmatrix}}}$

и квадрат его модуля равен

${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}=\langle \mathbf {n} ,\;\mathbf {x} \rangle ={\frac {\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} )}{\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n})}}.}$

Из этой формулы индукцией по ${\displaystyle n}$ получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы ${\displaystyle n}$ векторов равен квадрату объёма ${\displaystyle n}$-мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

• Процесс Грама ― Шмидта