Оптико-механическая аналогия

Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле ${\displaystyle U(r)}$. Её функцию действия можно представить в виде ${\displaystyle S({\vec {r}},t)=-Et+S_{0}({\vec {r}})}$, где "укороченное" действие ${\displaystyle S_{0}({\vec {r}})}$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби ${\displaystyle (\nabla S_{0})^{2}=2m\left[E-U({\vec {r}})\right]}$^[1].

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: ${\displaystyle (\nabla L)^{2}=n^{2}({\vec {r}})}$, где ${\displaystyle L}$ - так называемый эйконал, ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна^[2].

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волны^[2].

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение ${\displaystyle S(r,t)=-Et+S_{0}(r)=const}$. Дифференцируя это равенство по времени, получаем: ${\displaystyle -E+\nabla S_{0}{\frac {dr}{dl}}{\frac {dl}{dt}}=0}$ откуда, учитывая что ${\displaystyle {\frac {dr}{dl}}={\frac {\nabla S_{0}}{\left|\nabla S_{0}\right|}}}$ и ${\displaystyle \nabla S_{0}=p}$, следует ${\displaystyle u={\frac {E}{\left|\nabla S_{0}\right|}}={\frac {E}{p}}={\frac {E}{mv}}}$^[1].

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением ${\displaystyle k_{0}L({\vec {r}})-\omega t=const}$. Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: ${\displaystyle {\frac {dl}{dt}}={\frac {\omega }{k_{0}\left|\nabla L\right|}}={\frac {\omega }{k}}}$^[3].

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между ними^[4]:

Величина	Классическая механика	Оптика
Действие	${\displaystyle S({\vec {r}},t)}$	${\displaystyle k_{0}L({\vec {r}})-\omega t}$
"Укороченное" действие	${\displaystyle S_{0}({\vec {r}})}$	${\displaystyle k_{0}L({\vec {r}})}$
Энергия	${\displaystyle E}$	${\displaystyle \omega }$
Импульс	${\displaystyle {\vec {p}}}$	${\displaystyle {\vec {k}}}$
-	${\displaystyle 2m\left[E-U({\vec {r}})\right]}$	${\displaystyle n^{2}({\vec {r}})}$

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.

• Постоянная Планка

• Жирнов Н. И. Классическая механика. — М.: Просвещение, 1980. — 303 с.