Ориентированная площадь

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

Определение

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая , быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно . Она показывает сколько раз и в какую сторону контур обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой ориентированной площадью.

Свойства

Для ориентированной площади заключённой внутри замкнутой ломаной на плоскости выполняется равенство

где обозначает единичный вектор нормали к плоскости и векторное произведение.

Литература

  • Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;